Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcont Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcont 25756
 Description: The axiom of continuity. Take two sets of points 𝐴 and 𝐵. If all the points in 𝐴 come before the points of 𝐵 on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcont ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦

Proof of Theorem axcont
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩)
213anim3i 1248 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩)) → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩))
32anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩)))
4 simpr3l 1120 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩))) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 axcontlem12 25755 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩)) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
63, 4, 5syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
763exp2 1282 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) → (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → ((𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))))
87com4r 94 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) → (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))))
98rexlimiva 3021 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) → (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))))
109com4l 92 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) → (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → (∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))))
11103imp2 1279 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑎, 𝑦⟩)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  ℕcn 10964  𝔼cee 25668   Btwn cbtwn 25669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-z 11322  df-uz 11632  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-ee 25671  df-btwn 25672 This theorem is referenced by:  eengtrkg  25765
 Copyright terms: Public domain W3C validator