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Theorem axcontlem10 26044
Description: Lemma for axcont 26047. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem10.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑝,𝑥   𝐵,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝐷,𝑝,𝑡,𝑥   𝐹,𝑏   𝑖,𝐹,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝐹   𝑁,𝑏   𝑖,𝑁,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑁   𝑈,𝑏   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑈   𝑍,𝑏   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑡,𝑖)   𝐵(𝑡,𝑖)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5627 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
2 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simprl1 1264 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simplr1 1258 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
5 simprl2 1266 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈𝐴)
64, 5sseldd 3737 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
108, 9axcontlem2 26036 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1476 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
12 f1ofo 6297 . . . . . 6 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷onto→(0[,)+∞))
13 forn 6271 . . . . . 6 (𝐹:𝐷onto→(0[,)+∞) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
151, 14syl5sseq 3786 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐴) ⊆ (0[,)+∞))
16 rge0ssre 12465 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1715, 16syl6ss 3748 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐴) ⊆ ℝ)
18 imassrn 5627 . . . . 5 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
1918, 14syl5sseq 3786 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐵) ⊆ (0[,)+∞))
2019, 16syl6ss 3748 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐵) ⊆ ℝ)
218, 9axcontlem9 26043 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)𝑚𝑛)
22 dedekindle 10385 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)𝑚𝑛) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1473 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
24 simpr 479 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
25 simprl3 1268 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵 ≠ ∅)
2625ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ ∅)
27 n0 4066 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
2826, 27sylib 208 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑏 𝑏𝐵)
29 0red 10225 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
30 f1of 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
328axcontlem4 26038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴𝐷)
3332, 5sseldd 3737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈𝐷)
3431, 33ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞))
3516, 34sseldi 3734 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
3635ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
37 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38 elrege0 12463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑈)))
3938simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
4140ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
42 f1of1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
44 f1elima 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑈𝐷𝐴𝐷) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑈𝐴))
4543, 33, 32, 44syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑈𝐴))
465, 45mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴))
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴))
48 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
4943adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
50 simpl1 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
51 simpl2 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑈𝐴)
52 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑍𝑈)
5350, 51, 523jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈))
548axcontlem3 26037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → 𝐵𝐷)
5553, 54sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵𝐷)
5655sselda 3736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐷)
5755adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐵𝐷)
58 f1elima 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷𝐵𝐷) → ((𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵) ↔ 𝑏𝐵))
5949, 56, 57, 58syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵) ↔ 𝑏𝐵))
6048, 59mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵))
6160adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵))
6247, 61jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵)))
63 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝐹𝑈) → (𝑚𝑘 ↔ (𝐹𝑈) ≤ 𝑘))
6463anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝐹𝑈) → ((𝑚𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘𝑛)))
65 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝐹𝑏) → (𝑘𝑛𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6665anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏))))
6764, 66rspc2va 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6862, 67sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6968an32s 881 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
7069simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ≤ 𝑘)
7129, 36, 37, 41, 70letrd 10378 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ≤ 𝑘)
7271expr 644 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
7372exlimdv 2002 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
7428, 73mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑘)
75 elrege0 12463 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
7624, 74, 75sylanbrc 701 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
7776ex 449 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ (0[,)+∞)))
78 ssrab2 3820 . . . . . . . . . 10 {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ⊆ (𝔼‘𝑁)
798, 78eqsstri 3768 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
80 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
81 f1ocnvdm 6695 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
8211, 80, 81syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
8379, 82sseldi 3734 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁))
842, 3, 63jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8584, 7jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈))
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈))
8732sselda 3736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐷)
8887adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑞𝐷)
8988adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝑞𝐷)
90 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
9111, 90, 81syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
9255sselda 3736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑟𝐵) → 𝑟𝐷)
9392adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑟𝐷)
9493adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝑟𝐷)
9589, 91, 943jca 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷))
9686, 95jca 555 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷)))
97 f1ofun 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → Fun 𝐹)
9811, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → Fun 𝐹)
99 fdm 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞) → dom 𝐹 = 𝐷)
10011, 30, 993syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → dom 𝐹 = 𝐷)
10132, 100sseqtr4d 3775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
102 funfvima2 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑞𝐴 → (𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴)))
10398, 101, 102syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑞𝐴 → (𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴)))
10455, 100sseqtr4d 3775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
105 funfvima2 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐹𝐵 ⊆ dom 𝐹) → (𝑟𝐵 → (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
10698, 104, 105syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑟𝐵 → (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
107103, 106anim12d 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝑞𝐴𝑟𝐵) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵))))
108107imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
109108adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
110 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
111 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝐹𝑞) → (𝑚𝑘 ↔ (𝐹𝑞) ≤ 𝑘))
112111anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝐹𝑞) → ((𝑚𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘𝑛)))
113 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝐹𝑟) → (𝑘𝑛𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
114113anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝐹𝑟) → (((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
115112, 114rspc2v 3453 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
116109, 110, 115sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
117 f1ocnvfv2 6688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘(𝐹𝑘)) = 𝑘)
11811, 90, 117syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹‘(𝐹𝑘)) = 𝑘)
119118breq2d 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑞) ≤ 𝑘))
120118breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟) ↔ 𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
121119, 120anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
122116, 121mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)))
1238, 9axcontlem8 26042 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷)) → (((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩))
12496, 122, 123sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
125124anassrs 683 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
126125ralrimivva 3101 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑞𝐴𝑟𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
127 opeq1 4545 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → ⟨𝑞, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑟⟩)
128127breq2d 4808 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩))
129 opeq2 4546 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
130129breq2d 4808 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
131128, 130cbvral2v 3310 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐴𝑟𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
132126, 131sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
133 breq1 4799 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑘) → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1341332ralbidv 3119 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑘) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
135134rspcev 3441 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13683, 132, 135syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
137136expr 644 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ (0[,)+∞) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
13877, 137syld 47 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
139138ex 449 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
140139com23 86 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑘 ∈ ℝ → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
141140rexlimdv 3160 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
14223, 141mpd 15 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wex 1845  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  {crab 3046  wss 3707  c0 4050  cop 4319   class class class wbr 4796  {copab 4856  ccnv 5257  dom cdm 5258  ran crn 5259  cima 5261  Fun wfun 6035  wf 6037  1-1wf1 6038  ontowfo 6039  1-1-ontowf1o 6040  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  +∞cpnf 10255  cle 10259  cmin 10450  cn 11204  [,)cico 12362  ...cfz 12511  𝔼cee 25959   Btwn cbtwn 25960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-z 11562  df-uz 11872  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-ee 25962  df-btwn 25963
This theorem is referenced by:  axcontlem11  26045
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