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Theorem axdc4lem 9229
Description: Lemma for axdc4 9230. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4lem.1 𝐴 ∈ V
axdc4lem.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)))
Assertion
Ref Expression
axdc4lem ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝐶,𝑔,𝑘   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑔,𝑛)

Proof of Theorem axdc4lem
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑠 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 7039 . . . 4 ∅ ∈ ω
2 opelxpi 5113 . . . 4 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (ω × 𝐴))
31, 2mpan 705 . . 3 (𝐶𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (ω × 𝐴))
4 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
5 fovrn 6764 . . . . . . . 8 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → (𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
6 peano2 7040 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
76snssd 4314 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ω → {suc 𝑛} ⊆ ω)
8 eldifi 3715 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝑛𝐹𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
9 axdc4lem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ V
109elpw2 4793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑛𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
11 xpss12 5191 . . . . . . . . . . 11 (({suc 𝑛} ⊆ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ⊆ 𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
1210, 11sylan2b 492 . . . . . . . . . 10 (({suc 𝑛} ⊆ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ∈ 𝒫 𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
137, 8, 12syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
14 snex 4874 . . . . . . . . . . 11 {suc 𝑛} ∈ V
15 ovex 6638 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝐹𝑥) ∈ V
1614, 15xpex 6922 . . . . . . . . . 10 ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ V
1716elpw 4141 . . . . . . . . 9 (({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 (ω × 𝐴) ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
1813, 17sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 (ω × 𝐴))
194, 5, 18syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 (ω × 𝐴))
20 eldifn 3716 . . . . . . . 8 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅})
2115elsn 4168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} ↔ (𝑛𝐹𝑥) = ∅)
2221necon3bbii 2837 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} ↔ (𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅)
23 vex 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ V
2423sucex 6965 . . . . . . . . . . . 12 suc 𝑛 ∈ V
2524snnz 4284 . . . . . . . . . . 11 {suc 𝑛} ≠ ∅
26 xpnz 5517 . . . . . . . . . . . 12 (({suc 𝑛} ≠ ∅ ∧ (𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅) ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
2726biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (({suc 𝑛} ≠ ∅ ∧ (𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
2825, 27mpan 705 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅ → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
2922, 28sylbi 207 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
3016elsn 4168 . . . . . . . . . 10 (({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅} ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) = ∅)
3130necon3bbii 2837 . . . . . . . . 9 (¬ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅} ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
3229, 31sylibr 224 . . . . . . . 8 (¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} → ¬ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅})
335, 20, 323syl 18 . . . . . . 7 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ¬ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅})
3419, 33eldifd 3570 . . . . . 6 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
35343expib 1265 . . . . 5 (𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅})))
3635ralrimivv 2965 . . . 4 (𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
37 axdc4lem.2 . . . . 5 𝐺 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)))
3837fmpt2 7189 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}) ↔ 𝐺:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
3936, 38sylib 208 . . 3 (𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝐺:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
40 dcomex 9221 . . . . 5 ω ∈ V
4140, 9xpex 6922 . . . 4 (ω × 𝐴) ∈ V
4241axdc3 9228 . . 3 ((⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (ω × 𝐴) ∧ 𝐺:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
433, 39, 42syl2an 494 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
44 2ndcof 7149 . . . . . . . . 9 (:ω⟶(ω × 𝐴) → (2nd):ω⟶𝐴)
45443ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (2nd):ω⟶𝐴)
4645adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (2nd):ω⟶𝐴)
47 fex2 7075 . . . . . . . 8 (((2nd):ω⟶𝐴 ∧ ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (2nd) ∈ V)
4840, 9, 47mp3an23 1413 . . . . . . 7 ((2nd):ω⟶𝐴 → (2nd) ∈ V)
4946, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (2nd) ∈ V)
50 fvco3 6237 . . . . . . . . . . 11 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ ∅ ∈ ω) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘(‘∅)))
511, 50mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (:ω⟶(ω × 𝐴) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘(‘∅)))
52513ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘(‘∅)))
53 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 ((‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ → (2nd ‘(‘∅)) = (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩))
54533ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (2nd ‘(‘∅)) = (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩))
5552, 54eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩))
56 op2ndg 7133 . . . . . . . . 9 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩) = 𝐶)
571, 56mpan 705 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩) = 𝐶)
5855, 57sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ((2nd)‘∅) = 𝐶)
59 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑘 𝐶𝐴
60 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑘 :ω⟶(ω × 𝐴)
61 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑘(‘∅) = ⟨∅, 𝐶
62 nfra1 2936 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))
6360, 61, 62nf3an 1828 . . . . . . . . 9 𝑘(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
6459, 63nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑘(𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
65 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = ∅ → (𝑚) = (‘∅))
66 opeq1 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = ∅ → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨∅, 𝑧⟩)
6765, 66eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = ∅ → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩))
6867exbidv 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = ∅ → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩))
69 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑖 → (𝑚) = (𝑖))
70 opeq1 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑖 → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑧⟩)
7169, 70eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑖 → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩))
7271exbidv 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑖 → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩))
73 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = suc 𝑖 → (𝑚) = (‘suc 𝑖))
74 opeq1 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = suc 𝑖 → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)
7573, 74eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = suc 𝑖 → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩))
7675exbidv 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = suc 𝑖 → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩))
77 opeq2 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑧⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
7877eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝐶 → ((‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩ ↔ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩))
7978spcegv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶𝐴 → ((‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ → ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩))
8079imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐴 ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩) → ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩)
81803ad2antr2 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩)
82 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → (𝐺‘(𝑖)) = (𝐺‘⟨𝑖, 𝑧⟩))
83 df-ov 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖𝐺𝑧) = (𝐺‘⟨𝑖, 𝑧⟩)
8482, 83syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → (𝐺‘(𝑖)) = (𝑖𝐺𝑧))
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (𝐺‘(𝑖)) = (𝑖𝐺𝑧))
86 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → 𝑖 ∈ ω)
87 ffvelrn 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (𝑖) ∈ (ω × 𝐴))
88 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((𝑖) ∈ (ω × 𝐴) ↔ ⟨𝑖, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴)))
89 opelxp2 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑖, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴)
9088, 89syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((𝑖) ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴))
9187, 90mpan9 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → 𝑧𝐴)
92 suceq 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑖 → suc 𝑛 = suc 𝑖)
9392sneqd 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑖 → {suc 𝑛} = {suc 𝑖})
94 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝐹𝑥) = (𝑖𝐹𝑥))
9593, 94xpeq12d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑖 → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑥)))
96 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑧 → (𝑖𝐹𝑥) = (𝑖𝐹𝑧))
9796xpeq2d 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝑧 → ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑥)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
98 snex 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {suc 𝑖} ∈ V
99 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖𝐹𝑧) ∈ V
10098, 99xpex 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) ∈ V
10195, 97, 37, 100ovmpt2 6756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑧𝐴) → (𝑖𝐺𝑧) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
10286, 91, 101syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (𝑖𝐺𝑧) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
10385, 102eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (𝐺‘(𝑖)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
104 suceq 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑖 → suc 𝑘 = suc 𝑖)
105104fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑖 → (‘suc 𝑘) = (‘suc 𝑖))
106 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘) = (𝑖))
107106fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑖 → (𝐺‘(𝑘)) = (𝐺‘(𝑖)))
108105, 107eleq12d 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑖 → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) ↔ (‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖))))
109108rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖))))
110109ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖))))
111 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺‘(𝑖)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) → ((‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖)) ↔ (‘suc 𝑖) ∈ ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧))))
112 elxp 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((‘suc 𝑖) ∈ ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑠𝑡((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))))
113 velsn 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ↔ 𝑠 = suc 𝑖)
114 opeq1 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑠 = suc 𝑖 → ⟨𝑠, 𝑡⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
115113, 114sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑠 ∈ {suc 𝑖} → ⟨𝑠, 𝑡⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
116115eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑠 ∈ {suc 𝑖} → ((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ↔ (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩))
117116biimpac 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ 𝑠 ∈ {suc 𝑖}) → (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
118117adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))) → (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
119118eximi 1759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑡((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
120119exlimiv 1855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃𝑠𝑡((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
121112, 120sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((‘suc 𝑖) ∈ ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
122111, 121syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺‘(𝑖)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) → ((‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩))
123103, 110, 122sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩))
124123expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)))
125124exlimiv 1855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)))
126125com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)))
127 opeq2 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = 𝑧 → ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)
128127eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = 𝑧 → ((‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩ ↔ (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩))
129128cbvexv 2274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩ ↔ ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)
130126, 129syl8ib 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
131130impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (𝑖 ∈ ω → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
1321313adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (𝑖 ∈ ω → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
133132adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑖 ∈ ω → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ω → ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
13568, 72, 76, 81, 134finds2 7048 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ω → ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩))
136135com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑚 ∈ ω → ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩))
137136ralrimiv 2960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∀𝑚 ∈ ω ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩)
138 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚) = (𝑘))
139 opeq1 4375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
140138, 139eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
141140exbidv 1847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
142141rspccv 3295 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑚 ∈ ω ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ → (𝑘 ∈ ω → ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
143137, 142syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑘 ∈ ω → ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
1441433impia 1258 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
145 simp21 1092 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → :ω⟶(ω × 𝐴))
146 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → 𝑘 ∈ ω)
147 rspa 2925 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
1481473ad2antl3 1223 . . . . . . . . . . 11 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
1491483adant1 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
150 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
151150fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝐺‘(𝑘)) = (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩))
152 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → 𝑘 ∈ ω)
153 ffvelrn 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑘) ∈ (ω × 𝐴))
154 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((𝑘) ∈ (ω × 𝐴) ↔ ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴)))
155 opelxp2 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨𝑘, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴)
156154, 155syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((𝑘) ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴))
157153, 156syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → 𝑧𝐴))
158157imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → 𝑧𝐴)
159 df-ov 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐺𝑧) = (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩)
160 suceq 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → suc 𝑛 = suc 𝑘)
161160sneqd 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → {suc 𝑛} = {suc 𝑘})
162 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐹𝑥) = (𝑘𝐹𝑥))
163161, 162xpeq12d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑥)))
164 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑘𝐹𝑥) = (𝑘𝐹𝑧))
165164xpeq2d 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑥)) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
166 snex 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {suc 𝑘} ∈ V
167 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝐹𝑧) ∈ V
168166, 167xpex 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) ∈ V
169163, 165, 37, 168ovmpt2 6756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑧𝐴) → (𝑘𝐺𝑧) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
170159, 169syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
171152, 158, 170syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
172151, 171eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝐺‘(𝑘)) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
173172eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) ↔ (‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧))))
174 elxp 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑠𝑡((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧))))
175 peano2 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
176 fvco3 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘(‘suc 𝑘)))
177175, 176sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘(‘suc 𝑘)))
178177adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘(‘suc 𝑘)))
179 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩)
180179fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (2nd ‘(‘suc 𝑘)) = (2nd ‘⟨𝑠, 𝑡⟩))
181178, 180eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘⟨𝑠, 𝑡⟩))
182 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑠 ∈ V
183 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑡 ∈ V
184182, 183op2nd 7129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2nd ‘⟨𝑠, 𝑡⟩) = 𝑡
185181, 184syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) = 𝑡)
186 fvco3 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘𝑘) = (2nd ‘(𝑘)))
187186adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘𝑘) = (2nd ‘(𝑘)))
188 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
189188fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (2nd ‘(𝑘)) = (2nd ‘⟨𝑘, 𝑧⟩))
190187, 189eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘𝑘) = (2nd ‘⟨𝑘, 𝑧⟩))
191 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑘 ∈ V
192 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑧 ∈ V
193191, 192op2nd 7129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2nd ‘⟨𝑘, 𝑧⟩) = 𝑧
194190, 193syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘𝑘) = 𝑧)
195194oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)) = (𝑘𝐹𝑧))
196185, 195eleq12d 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)) ↔ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧)))
197196biimprcd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧) → ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
198197exp4c 635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧) → ((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))))
199198adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧)) → ((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))))
200199impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧))) → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
201200exlimivv 1857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑠𝑡((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧))) → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
202174, 201sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
203202com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
204203imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
205173, 204sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
206205ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
207206exlimiv 1855 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
2082073imp 1254 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
209144, 145, 146, 149, 208syl121anc 1328 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
2102093expia 1264 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑘 ∈ ω → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
21164, 210ralrimi 2952 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
21246, 58, 2113jca 1240 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ((2nd):ω⟶𝐴 ∧ ((2nd)‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
213 feq1 5988 . . . . . . . 8 (𝑔 = (2nd) → (𝑔:ω⟶𝐴 ↔ (2nd):ω⟶𝐴))
214 fveq1 6152 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (2nd) → (𝑔‘∅) = ((2nd)‘∅))
215214eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑔 = (2nd) → ((𝑔‘∅) = 𝐶 ↔ ((2nd)‘∅) = 𝐶))
216 fveq1 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (2nd) → (𝑔‘suc 𝑘) = ((2nd)‘suc 𝑘))
217 fveq1 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (2nd) → (𝑔𝑘) = ((2nd)‘𝑘))
218217oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (2nd) → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
219216, 218eleq12d 2692 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (2nd) → ((𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
220219ralbidv 2981 . . . . . . . 8 (𝑔 = (2nd) → (∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
221213, 215, 2203anbi123d 1396 . . . . . . 7 (𝑔 = (2nd) → ((𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))) ↔ ((2nd):ω⟶𝐴 ∧ ((2nd)‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
222221spcegv 3283 . . . . . 6 ((2nd) ∈ V → (((2nd):ω⟶𝐴 ∧ ((2nd)‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
22349, 212, 222sylc 65 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
224223ex 450 . . . 4 (𝐶𝐴 → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
225224exlimdv 1858 . . 3 (𝐶𝐴 → (∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
226225adantr 481 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
22743, 226mpd 15 1 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3189  cdif 3556  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  cop 4159   × cxp 5077  ccom 5083  suc csuc 5689  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  ωcom 7019  2nd c2nd 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-dc 9220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-1o 7512
This theorem is referenced by:  axdc4  9230
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