Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdc4uz 12977
 Description: A version of axdc4 9470 that works on an upper set of integers instead of ω. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
axdc4uz ((𝐴𝑉𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘   𝑔,𝑀,𝑘   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑔,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem axdc4uz
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2828 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → (𝐶𝑓𝐶𝐴))
2 xpeq2 5286 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑍 × 𝑓) = (𝑍 × 𝐴))
3 pweq 4305 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐴 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝐴)
43difeq1d 3870 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝒫 𝑓 ∖ {∅}) = (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
52, 4feq23d 6201 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → (𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
61, 5anbi12d 749 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → ((𝐶𝑓𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) ↔ (𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))))
7 feq3 6189 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑔:𝑍𝑓𝑔:𝑍𝐴))
873anbi1d 1552 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑔:𝑍𝑓 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))) ↔ (𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
98exbidv 1999 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑔(𝑔:𝑍𝑓 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))) ↔ ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
106, 9imbi12d 333 . . 3 (𝑓 = 𝐴 → (((𝐶𝑓𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝑓 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))) ↔ ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))))
11 axdc4uz.1 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
12 axdc4uz.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 vex 3343 . . . 4 𝑓 ∈ V
14 eqid 2760 . . . 4 (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
15 eqid 2760 . . . 4 (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥))
1611, 12, 13, 14, 15axdc4uzlem 12976 . . 3 ((𝐶𝑓𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝑓 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
1710, 16vtoclg 3406 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
18173impib 1109 1 ((𝐴𝑉𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  ωcom 7230  reccrdg 7674  1c1 10129   + caddc 10131  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-dc 9460  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880 This theorem is referenced by:  bcthlem5  23325  sdclem1  33852
 Copyright terms: Public domain W3C validator