MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth2 10235
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth2
StepHypRef Expression
1 ax-groth 10233 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
2 ssdomg 8543 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V → (𝑧𝑦𝑧𝑦))
32elv 3497 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦𝑧𝑦)
43biantrurd 533 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧 ↔ (𝑧𝑦𝑦𝑧)))
5 sbthb 8626 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦𝑦𝑧) ↔ 𝑧𝑦)
64, 5syl6bb 288 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
76orbi1d 910 . . . . . 6 (𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
87pm5.74i 272 . . . . 5 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
98albii 1811 . . . 4 (∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
1093anbi3i 1151 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
1110exbii 1839 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
121, 11mpbir 232 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079  wal 1526  wex 1771  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  cen 8494  cdom 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-groth 10233
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499
This theorem is referenced by:  axgroth3  10241
  Copyright terms: Public domain W3C validator