MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth3 9845
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 9449 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 9839 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2 ssid 3765 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑧
3 sseq1 3767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑧𝑧𝑧))
4 elequ1 2146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑤𝑧𝑤))
53, 4imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣𝑧𝑣𝑤) ↔ (𝑧𝑧𝑧𝑤)))
65spv 2405 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → (𝑧𝑧𝑧𝑤))
72, 6mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧𝑤)
87reximi 3149 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
9 eluni2 4592 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
108, 9sylibr 224 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧 𝑦)
1110adantl 473 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑧 𝑦)
1211ralimi 3090 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
13 dfss3 3733 . . . . . . 7 (𝑦 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
1412, 13sylibr 224 . . . . . 6 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑦 𝑦)
15 ne0i 4064 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝑦 ≠ ∅)
16 vex 3343 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
1716dominf 9459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
1815, 17sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
19 grothac 9844 . . . . . . . . . . . 12 dom card = V
2016, 19eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ dom card
21 vex 3343 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
2221, 19eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ dom card
23 infdif2 9224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2420, 22, 23mp3an12 1563 . . . . . . . . . 10 (ω ≼ 𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2518, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2625orbi1d 741 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2726imbi2d 329 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2827albidv 1998 . . . . . 6 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2914, 28sylan2 492 . . . . 5 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3029pm5.32i 672 . . . 4 (((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
31 df-3an 1074 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
32 df-3an 1074 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3330, 31, 323bitr4i 292 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3433exbii 1923 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
351, 34mpbir 221 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wal 1630  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  c0 4058   cuni 4588   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ωcom 7230  cdom 8119  cardccrd 8951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-reg 8662  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-groth 9837
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182
This theorem is referenced by:  axgroth4  9846
  Copyright terms: Public domain W3C validator