MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth4 9598
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 9225 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 9597 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
2 elequ2 2001 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑣 → (𝑢𝑤𝑢𝑣))
32imbi2d 330 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ (𝑢𝑧𝑢𝑣)))
43albidv 1846 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
54cbvrexv 3160 . . . . . . 7 (∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣))
65anbi2i 729 . . . . . 6 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
7 r19.42v 3084 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
8 sseq1 3605 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑧𝑤𝑧))
9 elequ1 1994 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑣𝑤𝑣))
108, 9imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ (𝑤𝑧𝑤𝑣)))
1110cbvalv 2272 . . . . . . . . 9 (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣))
1211anbi2i 729 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
13 19.26 1795 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
14 pm4.76 909 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
15 elin 3774 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝑦𝑣) ↔ (𝑤𝑦𝑤𝑣))
1615imbi2i 326 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
1714, 16bitr4i 267 . . . . . . . . 9 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1817albii 1744 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1912, 13, 183bitr2i 288 . . . . . . 7 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2019rexbii 3034 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
216, 7, 203bitr2i 288 . . . . 5 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2221ralbii 2974 . . . 4 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
23223anbi2i 1252 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
2423exbii 1771 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
251, 24mpbi 220 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036  wal 1478  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  cdom 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-groth 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  grothprim  9600
  Copyright terms: Public domain W3C validator