Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth4 9598
 Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 9225 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 9597 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
2 elequ2 2001 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑣 → (𝑢𝑤𝑢𝑣))
32imbi2d 330 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ (𝑢𝑧𝑢𝑣)))
43albidv 1846 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
54cbvrexv 3160 . . . . . . 7 (∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣))
65anbi2i 729 . . . . . 6 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
7 r19.42v 3084 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
8 sseq1 3605 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑧𝑤𝑧))
9 elequ1 1994 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑣𝑤𝑣))
108, 9imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ (𝑤𝑧𝑤𝑣)))
1110cbvalv 2272 . . . . . . . . 9 (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣))
1211anbi2i 729 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
13 19.26 1795 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
14 pm4.76 909 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
15 elin 3774 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝑦𝑣) ↔ (𝑤𝑦𝑤𝑣))
1615imbi2i 326 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
1714, 16bitr4i 267 . . . . . . . . 9 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1817albii 1744 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1912, 13, 183bitr2i 288 . . . . . . 7 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2019rexbii 3034 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
216, 7, 203bitr2i 288 . . . . 5 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2221ralbii 2974 . . . 4 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
23223anbi2i 1252 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
2423exbii 1771 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
251, 24mpbi 220 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036  ∀wal 1478  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ∖ cdif 3552   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ≼ cdom 7897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-groth 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934 This theorem is referenced by:  grothprim  9600
 Copyright terms: Public domain W3C validator