HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhvmul0-zf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axhvmul0-zf 28129
Description: Derive axiom ax-hvmul0 28147 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
axhil.2 𝑈 ∈ CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhvmul0-zf (𝐴 ∈ ℋ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem axhvmul0-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2 𝑈 ∈ CHilOLD
2 df-hba 28106 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3 axhil.1 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
43fveq2i 6343 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
52, 4eqtr4i 2773 . . 3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
61hlnvi 28028 . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
73, 6h2hsm 28112 . . 3 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
8 df-h0v 28107 . . . 4 0 = (0vec‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
93fveq2i 6343 . . . 4 (0vec𝑈) = (0vec‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
108, 9eqtr4i 2773 . . 3 0 = (0vec𝑈)
115, 7, 10hlmul0 28045 . 2 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴 ∈ ℋ) → (0 · 𝐴) = 0)
121, 11mpan 708 1 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  cop 4315  cfv 6037  (class class class)co 6801  0cc0 10099  BaseSetcba 27721  0veccn0v 27723  CHilOLDchlo 28021  chil 28056   + cva 28057   · csm 28058  normcno 28060  0c0v 28061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-ltxr 10242  df-grpo 27627  df-gid 27628  df-ginv 27629  df-ablo 27679  df-vc 27694  df-nv 27727  df-va 27730  df-ba 27731  df-sm 27732  df-0v 27733  df-nmcv 27735  df-cbn 27999  df-hlo 28022  df-hba 28106  df-h0v 28107
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator