MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdim1 25884
Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 25885. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdim1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
21fconst6 6133 . . 3 ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3 elee 25819 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
42, 3mpbiri 248 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
65fconst6 6133 . . 3 ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7 elee 25819 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
86, 7mpbiri 248 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9 ax-1ne0 10043 . . . . . . 7 1 ≠ 0
109neii 2825 . . . . . 6 ¬ 1 = 0
11 1ex 10073 . . . . . . 7 1 ∈ V
1211sneqr 4403 . . . . . 6 ({1} = {0} → 1 = 0)
1310, 12mto 188 . . . . 5 ¬ {1} = {0}
14 elnnuz 11762 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
15 eluzfz1 12386 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
1614, 15sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
17 ne0i 3954 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
19 rnxp 5599 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
21 rnxp 5599 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2320, 22eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
2413, 23mtbiri 316 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
25 rneq 5383 . . . 4 (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
2624, 25nsyl 135 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
2726neqned 2830 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
28 neeq1 2885 . . 3 (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
29 neeq2 2886 . . 3 (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
3028, 29rspc2ev 3355 . 2 ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
314, 8, 27, 30syl3anc 1366 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  c0 3948  {csn 4210   × cxp 5141  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  cn 11058  cuz 11725  ...cfz 12364  𝔼cee 25813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-ee 25816
This theorem is referenced by:  btwndiff  32259
  Copyright terms: Public domain W3C validator