Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdim1 25884
 Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 25885. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdim1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
21fconst6 6133 . . 3 ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3 elee 25819 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
42, 3mpbiri 248 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
65fconst6 6133 . . 3 ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7 elee 25819 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
86, 7mpbiri 248 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9 ax-1ne0 10043 . . . . . . 7 1 ≠ 0
109neii 2825 . . . . . 6 ¬ 1 = 0
11 1ex 10073 . . . . . . 7 1 ∈ V
1211sneqr 4403 . . . . . 6 ({1} = {0} → 1 = 0)
1310, 12mto 188 . . . . 5 ¬ {1} = {0}
14 elnnuz 11762 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
15 eluzfz1 12386 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
1614, 15sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
17 ne0i 3954 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
19 rnxp 5599 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
21 rnxp 5599 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2320, 22eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
2413, 23mtbiri 316 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
25 rneq 5383 . . . 4 (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
2624, 25nsyl 135 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
2726neqned 2830 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
28 neeq1 2885 . . 3 (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
29 neeq2 2886 . . 3 (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
3028, 29rspc2ev 3355 . 2 ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
314, 8, 27, 30syl3anc 1366 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  ∅c0 3948  {csn 4210   × cxp 5141  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℕcn 11058  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  𝔼cee 25813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-ee 25816 This theorem is referenced by:  btwndiff  32259
 Copyright terms: Public domain W3C validator