MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem10 25549
Description: Lemma for axlowdim 25559. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem10
StepHypRef Expression
1 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (𝐼 + 1) ∈ V
2 1ex 9891 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
31, 2f1osn 6073 . . . . . . . 8 {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1}
4 f1of 6035 . . . . . . . 8 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1} → {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1})
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1}
6 c0ex 9890 . . . . . . . 8 0 ∈ V
76fconst 5989 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
85, 7pm3.2i 469 . . . . . 6 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0})
9 disjdif 3991 . . . . . 6 ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
10 fun 5965 . . . . . 6 ((({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}) ∧ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅) → ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
118, 9, 10mp2an 703 . . . . 5 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
12 axlowdimlem10.1 . . . . . 6 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
1312feq1i 5935 . . . . 5 (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ↔ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
1411, 13mpbir 219 . . . 4 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
15 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
16 snssi 4279 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 {1} ⊆ ℝ
18 0re 9896 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
19 snssi 4279 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 {0} ⊆ ℝ
2117, 20unssi 3749 . . . 4 ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ
22 fss 5955 . . . 4 ((𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ∧ ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ) → 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ)
2314, 21, 22mp2an 703 . . 3 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ
24 fznatpl1 12220 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
2524snssd 4280 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → {(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁))
26 undif 4000 . . . . 5 ({(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
2725, 26sylib 206 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
2827feq2d 5930 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
2923, 28mpbii 221 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
30 elee 25492 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
3130adantr 479 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
3229, 31mpbird 245 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  cop 4130   × cxp 5026  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  cmin 10117  cn 10867  ...cfz 12152  𝔼cee 25486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-ee 25489
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  25553  axlowdimlem15  25554  axlowdimlem16  25555  axlowdimlem17  25556
  Copyright terms: Public domain W3C validator