Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem4 26024
 Description: Lemma for axlowdim 26040. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem4 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ

Proof of Theorem axlowdimlem4
StepHypRef Expression
1 1ne2 11432 . . . 4 1 ≠ 2
2 1ex 10227 . . . . 5 1 ∈ V
3 2ex 11284 . . . . 5 2 ∈ V
4 axlowdimlem4.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
54elexi 3353 . . . . 5 𝐴 ∈ V
6 axlowdimlem4.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
76elexi 3353 . . . . 5 𝐵 ∈ V
82, 3, 5, 7fpr 6584 . . . 4 (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
91, 8ax-mp 5 . . 3 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵}
10 1z 11599 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
11 fzpr 12589 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
13 df-2 11271 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
1413oveq2i 6824 . . . . 5 (1...2) = (1...(1 + 1))
1513preq2i 4416 . . . . 5 {1, 2} = {1, (1 + 1)}
1612, 14, 153eqtr4i 2792 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
1716feq2i 6198 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
189, 17mpbir 221 . 2 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵}
194, 6pm3.2i 470 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
205, 7prss 4496 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
2119, 20mpbi 220 . 2 {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ
22 fss 6217 . 2 (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ)
2318, 21, 22mp2an 710 1 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3715  {cpr 4323  ⟨cop 4327  ⟶wf 6045  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  1c1 10129   + caddc 10131  2c2 11262  ℤcz 11569  ...cfz 12519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520 This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  26025  axlowdimlem6  26026  axlowdimlem17  26037
 Copyright terms: Public domain W3C validator