MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem7 26661
Description: Lemma for axlowdim 26674. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2 eqid 2818 . . . . . . . 8 {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3 3ex 11707 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
4 negex 10872 . . . . . . . . 9 -1 ∈ V
53, 4fsn 6889 . . . . . . . 8 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
62, 5mpbir 232 . . . . . . 7 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7 neg1rr 11740 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
8 snssi 4733 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 {-1} ⊆ ℝ
10 fss 6520 . . . . . . 7 (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
116, 9, 10mp2an 688 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12 0re 10631 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6562 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
1411, 13pm3.2i 471 . . . . 5 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15 disjdif 4417 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16 fun2 6534 . . . . 5 ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
1714, 15, 16mp2an 688 . . . 4 ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18 eluzle 12244 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19 1le3 11837 . . . . . . . . 9 1 ≤ 3
2018, 19jctil 520 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21 3z 12003 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
22 1z 12000 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
23 eluzelz 12241 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 elfz 12886 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2521, 22, 23, 24mp3an12i 1456 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2620, 25mpbird 258 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
2726snssd 4734 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28 undif 4426 . . . . . 6 ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
2927, 28sylib 219 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
3029feq2d 6493 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3117, 30mpbii 234 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32 eluzge3nn 12278 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33 elee 26607 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3432, 33syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3531, 34mpbird 258 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
361, 35eqeltrid 2914 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  cop 4563   class class class wbr 5057   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  cle 10664  -cneg 10859  cn 11626  3c3 11681  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  𝔼cee 26601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-ee 26604
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  26669  axlowdimlem16  26670  axlowdimlem17  26671
  Copyright terms: Public domain W3C validator