MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem9 25730
Description: Lemma for axlowdim 25741. Calculate the value of 𝑃 away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem9 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem9
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . . 3 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
21fveq1i 6149 . 2 (𝑃𝐾) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾)
3 eldifsn 4287 . . 3 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3))
4 disjdif 4012 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
5 3re 11038 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
65elexi 3199 . . . . . . 7 3 ∈ V
7 negex 10223 . . . . . . 7 -1 ∈ V
86, 7fnsn 5904 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩} Fn {3}
9 c0ex 9978 . . . . . . . 8 0 ∈ V
109fconst 6048 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
11 ffn 6002 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
13 fvun2 6227 . . . . . 6 (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
148, 12, 13mp3an12 1411 . . . . 5 ((({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
154, 14mpan 705 . . . 4 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
169fvconst2 6423 . . . 4 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾) = 0)
1715, 16eqtrd 2655 . . 3 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
183, 17sylbir 225 . 2 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
192, 18syl5eq 2667 1 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  c0 3891  {csn 4148  cop 4154   × cxp 5072   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  -cneg 10211  3c3 11015  ...cfz 12268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-neg 10213  df-2 11023  df-3 11024
This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  25737  axlowdimlem17  25738
  Copyright terms: Public domain W3C validator