Theorem axlttrn 5484

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 23 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axlttrn 5268 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axlttrn	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → ((A < B ⋀ B < C) → A < C))

Proof of Theorem axlttrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axlttrn 5268	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → ((A <ℝ B ⋀ B <ℝ C) → A <ℝ C))
2		ltxrltt 5480	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A < B ↔ A <ℝ B))
3	2	3adant3 798	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (A < B ↔ A <ℝ B))
4		ltxrltt 5480	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (B < C ↔ B <ℝ C))
5	4	3adant1 796	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (B < C ↔ B <ℝ C))
6	3, 5	anbi12d 627	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → ((A < B ⋀ B < C) ↔ (A <ℝ B ⋀ B <ℝ C)))
7		ltxrltt 5480	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (A < C ↔ A <ℝ C))
8	7	3adant2 797	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (A < C ↔ A <ℝ C))
9	1, 6, 8	3imtr4d 542	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → ((A < B ⋀ B < C) → A < C))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774   ∈ wcel 956   class class class wbr 2614  ℝcr 5213   <_ℝ cltrr 5218   < clt 5466

This theorem is referenced by:  lttrt 5488  ltso 5492  lelttrt 5504  ltletrt 5505  lttrd 5510  xrlttrt 5534  lttr 5567  mulgt1t 5809  recgt1it 5856  recrecltt 5858  nnge1t 5899  sup2 6006  lt0nnn0 6071  nn0ltp1let 6082  zltp1let 6136  recnzt 6146  gtndivt 6148  expordit 6539  expnbndt 6593  sqrlem6 6616  fsumsplit 6966  climmullem5 7068  caucvglem2 7102  caucvglem4 7104  georeclim 7183  geoisumr 7186  cvgratlem1ALT 7190  cvgratlem1 7193  ivthlem7 7230  ivthlem7OLD 7239  sin01gt0 7426  cos01gt0 7427  bcthlem1 7949  bcthlem21 7969  bcthlem25 7973  projlem26 9150  projlem28 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-enr 5146  df-nr 5147  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-lt 5227  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470

Copyright terms: Public domain