MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axmulass 9938
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 10 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 9962. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem axmulass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 9923 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 9925 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 9925 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E )
4 mulcnsrec 9925 . 2 (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))), ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢))⟩] E )
5 mulcnsrec 9925 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))), ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))⟩] E )
6 mulclsr 9865 . . . . 5 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
7 m1r 9863 . . . . . 6 -1RR
8 mulclsr 9865 . . . . . 6 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9 mulclsr 9865 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
107, 8, 9sylancr 694 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
11 addclsr 9864 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
126, 10, 11syl2an 494 . . . 4 (((𝑥R𝑧R) ∧ (𝑦R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1312an4s 868 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
14 mulclsr 9865 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
15 mulclsr 9865 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
16 addclsr 9864 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1714, 15, 16syl2anr 495 . . . 4 (((𝑥R𝑤R) ∧ (𝑦R𝑧R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1817an42s 869 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1913, 18jca 554 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
20 mulclsr 9865 . . . . 5 ((𝑧R𝑣R) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
21 mulclsr 9865 . . . . . 6 ((𝑤R𝑢R) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
22 mulclsr 9865 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
237, 21, 22sylancr 694 . . . . 5 ((𝑤R𝑢R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
24 addclsr 9864 . . . . 5 (((𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2520, 23, 24syl2an 494 . . . 4 (((𝑧R𝑣R) ∧ (𝑤R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2625an4s 868 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
27 mulclsr 9865 . . . . 5 ((𝑤R𝑣R) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
28 mulclsr 9865 . . . . 5 ((𝑧R𝑢R) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
29 addclsr 9864 . . . . 5 (((𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3027, 28, 29syl2anr 495 . . . 4 (((𝑧R𝑢R) ∧ (𝑤R𝑣R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3130an42s 869 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3226, 31jca 554 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R))
33 ovex 6643 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ V
34 ovex 6643 . . . 4 (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ V
35 ovex 6643 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ V
36 addcomsr 9868 . . . 4 (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
37 addasssr 9869 . . . 4 ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ))
38 ovex 6643 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ V
3933, 34, 35, 36, 37, 38caov42 6832 . . 3 (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
40 distrsr 9872 . . . 4 (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
41 distrsr 9872 . . . . . 6 (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))
4241oveq2i 6626 . . . . 5 (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
43 distrsr 9872 . . . . 5 (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
4442, 43eqtri 2643 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
4540, 44oveq12i 6627 . . 3 ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
46 vex 3193 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
477elexi 3203 . . . . . 6 -1R ∈ V
48 vex 3193 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
49 mulcomsr 9870 . . . . . 6 (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓)
50 distrsr 9872 . . . . . 6 (𝑓 ·R (𝑔 +R )) = ((𝑓 ·R 𝑔) +R (𝑓 ·R ))
51 ovex 6643 . . . . . 6 (𝑦 ·R 𝑤) ∈ V
52 vex 3193 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
53 mulasssr 9871 . . . . . 6 ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R ))
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53caovdilem 6834 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)))
55 mulasssr 9871 . . . . . . 7 ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))
5655oveq2i 6626 . . . . . 6 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
5756oveq2i 6626 . . . . 5 ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
5854, 57eqtri 2643 . . . 4 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
59 vex 3193 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
60 vex 3193 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
61 vex 3193 . . . . . . 7 𝑢 ∈ V
6259, 46, 48, 49, 50, 60, 61, 53caovdilem 6834 . . . . . 6 (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
6362oveq2i 6626 . . . . 5 (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
64 distrsr 9872 . . . . . 6 (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
65 ovex 6643 . . . . . . . 8 (𝑤 ·R 𝑢) ∈ V
6647, 46, 65, 49, 53caov12 6827 . . . . . . 7 (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
6766oveq2i 6626 . . . . . 6 ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
6864, 67eqtri 2643 . . . . 5 (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
6963, 68eqtri 2643 . . . 4 (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
7058, 69oveq12i 6627 . . 3 ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
7139, 45, 703eqtr4ri 2654 . 2 ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))))
72 ovex 6643 . . . 4 (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ V
73 ovex 6643 . . . 4 (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ V
74 ovex 6643 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ V
75 ovex 6643 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ V
7672, 73, 74, 36, 37, 75caov42 6832 . . 3 (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
77 distrsr 9872 . . . 4 (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
78 distrsr 9872 . . . 4 (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))
7977, 78oveq12i 6627 . . 3 ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
8059, 46, 48, 49, 50, 60, 52, 53caovdilem 6834 . . . 4 (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
8146, 47, 48, 49, 50, 51, 61, 53caovdilem 6834 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)))
82 mulasssr 9871 . . . . . . . 8 ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))
8382oveq2i 6626 . . . . . . 7 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
8447, 59, 65, 49, 53caov12 6827 . . . . . . 7 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
8583, 84eqtri 2643 . . . . . 6 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
8685oveq2i 6626 . . . . 5 ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
8781, 86eqtri 2643 . . . 4 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
8880, 87oveq12i 6627 . . 3 ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
8976, 79, 883eqtr4ri 2654 . 2 ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))
901, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 71, 89ecovass 7815 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   E cep 4993  ccnv 5083  (class class class)co 6615  Rcnr 9647  -1Rcm1r 9650   +R cplr 9651   ·R cmr 9652  cc 9894   · cmul 9901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-ni 9654  df-pli 9655  df-mi 9656  df-lti 9657  df-plpq 9690  df-mpq 9691  df-ltpq 9692  df-enq 9693  df-nq 9694  df-erq 9695  df-plq 9696  df-mq 9697  df-1nq 9698  df-rq 9699  df-ltnq 9700  df-np 9763  df-1p 9764  df-plp 9765  df-mp 9766  df-ltp 9767  df-enr 9837  df-nr 9838  df-plr 9839  df-mr 9840  df-m1r 9844  df-c 9902  df-mul 9908
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator