Theorem axmulass 5258

Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 12 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulass	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

Proof of Theorem axmulass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5242	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		mulcnsrec 5244	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E)
3		mulcnsrec 5244	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E)
4		mulcnsrec 5244	. 2 ⊢ (((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))), ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u))⟩]◡E)
5		mulcnsrec 5244	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ⋀ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E) = [⟨((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))), ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))⟩]◡E)
6		addclsr 5172	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) ∈ R ⋀ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
7		mulclsr 5173	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ z ∈ R) → (x ·R z) ∈ R)
8		mulclsr 5173	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (y ·R w) ∈ R)
9		m1r 5171	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (y ·R w) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
11	9, 10	mpan 694	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R w) ∈ R → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
12	8, 11	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
13	6, 7, 12	syl2an 454	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
14	13	an4s 508	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
15		addclsr 5172	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) ∈ R ⋀ (x ·R w) ∈ R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
16		mulclsr 5173	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ z ∈ R) → (y ·R z) ∈ R)
17		mulclsr 5173	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ⋀ w ∈ R) → (x ·R w) ∈ R)
18	15, 16, 17	syl2an 454	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (x ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
19	18	ancoms 436	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ z ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
20	19	an42s 509	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
21	14, 20	jca 288	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R))
22		addclsr 5172	. . . . 5 ⊢ (((z ·R v) ∈ R ⋀ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
23		mulclsr 5173	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ⋀ v ∈ R) → (z ·R v) ∈ R)
24		mulclsr 5173	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (w ·R u) ∈ R)
25		mulclsr 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (w ·R u) ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
26	9, 25	mpan 694	. . . . . 6 ⊢ ((w ·R u) ∈ R → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
27	24, 26	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
28	22, 23, 27	syl2an 454	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
29	28	an4s 508	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
30		addclsr 5172	. . . . . 6 ⊢ (((w ·R v) ∈ R ⋀ (z ·R u) ∈ R) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
31		mulclsr 5173	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ⋀ v ∈ R) → (w ·R v) ∈ R)
32		mulclsr 5173	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ⋀ u ∈ R) → (z ·R u) ∈ R)
33	30, 31, 32	syl2an 454	. . . . 5 ⊢ (((w ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
34	33	ancoms 436	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ⋀ u ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ v ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
35	34	an42s 509	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
36	29, 35	jca 288	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ⋀ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R))
37		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R v)) ∈ V
38		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (x ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
39		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R v))) ∈ V
40		visset 1809	. . . . 5 ⊢ f ∈ V
41		visset 1809	. . . . 5 ⊢ g ∈ V
42	40, 41	addcomsr 5176	. . . 4 ⊢ (f +R g) = (g +R f)
43		visset 1809	. . . . 5 ⊢ h ∈ V
44	41, 43	addasssr 5177	. . . 4 ⊢ ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
45		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (z ·R u))) ∈ V
46	37, 38, 39, 42, 44, 45	caopr42 4058	. . 3 ⊢ (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
47		oprex 3974	. . . . 5 ⊢ (z ·R v) ∈ V
48		oprex 3974	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ V
49	47, 48	distrsr 5180	. . . 4 ⊢ (x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
50		oprex 3974	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R v) ∈ V
51		oprex 3974	. . . . . . 7 ⊢ (z ·R u) ∈ V
52	50, 51	distrsr 5180	. . . . . 6 ⊢ (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))
53	52	opreq2i 3963	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u))))
54		oprex 3974	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (w ·R v)) ∈ V
55		oprex 3974	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (z ·R u)) ∈ V
56	54, 55	distrsr 5180	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
57	53, 56	eqtr 1492	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
58	49, 57	opreq12i 3964	. . 3 ⊢ ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u)))))
59		visset 1809	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
60	9	elisseti 1814	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ V
61		visset 1809	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
62	40, 41	mulcomsr 5178	. . . . . 6 ⊢ (f ·R g) = (g ·R f)
63	41, 43	distrsr 5180	. . . . . 6 ⊢ (f ·R (g +R h)) = ((f ·R g) +R (f ·R h))
64		oprex 3974	. . . . . 6 ⊢ (y ·R w) ∈ V
65		visset 1809	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
66	41, 43	mulasssr 5179	. . . . . 6 ⊢ ((f ·R g) ·R h) = (f ·R (g ·R h))
67	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66	caoprdilem 4060	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)))
68		visset 1809	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
69	68, 65	mulasssr 5179	. . . . . . 7 ⊢ ((y ·R w) ·R v) = (y ·R (w ·R v))
70	69	opreq2i 3963	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))
71	70	opreq2i 3963	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
72	67, 71	eqtr 1492	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
73		visset 1809	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
74		visset 1809	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
75	73, 59, 61, 62, 63, 68, 74, 66	caoprdilem 4060	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u) = ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))
76	75	opreq2i 3963	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u))))
77		oprex 3974	. . . . . 6 ⊢ (x ·R (w ·R u)) ∈ V
78	55, 77	distrsr 5180	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u))))
79		oprex 3974	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R u) ∈ V
80	60, 59, 79, 62, 66	caopr12 4053	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (x ·R (w ·R u))) = (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))
81	80	opreq2i 3963	. . . . 5 ⊢ ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
82	76, 78, 81	3eqtr 1496	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
83	72, 82	opreq12i 3964	. . 3 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
84	46, 58, 83	3eqtr4r 1503	. 2 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))))
85		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (y ·R (z ·R v)) ∈ V
86		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (y ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
87		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (x ·R (w ·R v)) ∈ V
88		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R u)) ∈ V
89	85, 86, 87, 42, 44, 88	caopr42 4058	. . 3 ⊢ (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
90	47, 48	distrsr 5180	. . . 4 ⊢ (y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
91	50, 51	distrsr 5180	. . . 4 ⊢ (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))
92	90, 91	opreq12i 3964	. . 3 ⊢ ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u))))
93	73, 59, 61, 62, 63, 68, 65, 66	caoprdilem 4060	. . . 4 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) = ((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v)))
94	59, 60, 61, 62, 63, 64, 74, 66	caoprdilem 4060	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)))
95	68, 74	mulasssr 5179	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ·R w) ·R u) = (y ·R (w ·R u))
96	95	opreq2i 3963	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R u)))
97	60, 73, 79, 62, 66	caopr12 4053	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R u))) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
98	96, 97	eqtr 1492	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
99	98	opreq2i 3963	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u))) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
100	94, 99	eqtr 1492	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
101	93, 100	opreq12i 3964	. . 3 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
102	89, 92, 101	3eqtr4r 1503	. 2 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))
103	1, 2, 3, 4, 5, 21, 36, 84, 102	ecoprass 4310	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774   = wceq 954   ∈ wcel 956  Ecep 2825  ^◡ccnv 3164  (class class class)co 3954  Rcnr 4973  -1_Rcm1r 4976   +_R cplr 4977   ·_R cmr 4978  ℂcc 5212   · cmul 5219

This theorem is referenced by:  mulasst 5288  mulass 5305  mul12t 5398  mul23t 5399  mul4t 5400  recext 5665  mulcan 5667  receu 5678  divasst 5712  divdivdivt 5749  conjmult 5761  expaddt 6535  imcjt 6762  faclbnd 6890  faclbnd5 6898  faclbnd6 6899  binomlem1 7012  binomlem2 7013  cvgratlem1ALT 7190  cvgratlem1 7193  ablmul 8083  cnring 8114  cnvc 8154  ipasslem4 8437  ipasslem5 8438  ipasslem11 8444  circgrpOLD 8677  pjthlem6 9162  leopnmidt 10009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-m1r 5153  df-c 5220  df-mul 5226

Copyright terms: Public domain