Theorem axmulrcl 5257

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 8 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5233	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃x(x ∈ R ⋀ ⟨x, 0R⟩ = A))
2		elreal 5233	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ⋀ ⟨y, 0R⟩ = B))
3		opreq1 3963	. . 3 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = (A · ⟨y, 0R⟩))
4	3	eleq1d 1538	. 2 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		opreq2 3964	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (A · ⟨y, 0R⟩) = (A · B))
6	5	eleq1d 1538	. 2 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → ((A · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A · B) ∈ ℝ))
7		visset 1810	. . . 4 ⊢ y ∈ V
8	7	mulresr 5240	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = ⟨(x ·R y), 0R⟩)
9		mulclsr 5176	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (x ·R y) ∈ R)
10		opelreal 5232	. . . 4 ⊢ (⟨(x ·R y), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (x ·R y) ∈ R)
11	9, 10	sylibr 200	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨(x ·R y), 0R⟩ ∈ ℝ)
12	8, 11	eqeltrd 1546	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ)
13	1, 2, 4, 6, 12	2gencl 1826	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 955   ∈ wcel 957  ⟨cop 2408  (class class class)co 3958  Rcnr 4976  0_Rc0r 4977   ·_R cmr 4981  ℝcr 5216   · cmul 5222

This theorem is referenced by:  remulclt 5287  remulcl 5318  1re 5418  axmulgt0 5489  recextlem2 5666  recext 5667  lemul1t 5798  ltmul12it 5807  lemul12ait 5808  lemul12itOLD 5809  mulgt1t 5811  ltdivmult 5829  ledivmult 5830  lt2mul2divt 5832  lemuldivt 5834  ltdiv23t 5850  lediv23t 5851  avglet 6001  zmulclt 6137  qbtwnre 6228  rpmulclt 6241  reexpclt 6525  expubndt 6553  bernneq 6597  expnbndt 6599  discrlem3 6603  sqr0 6617  sqrlem5 6622  sqrlem6 6623  sqrlem12 6629  faclbnd 6897  faclbnd3 6899  faclbnd5 6905  faclbnd6 6906  facavgt 6907  climmullem4 7076  cvgcmp2clem 7135  cvgratlem1ALT 7199  cvgratlem1 7202  cvgratlem4 7205  erelem1 7278  abspef01tlub 7353  efcnlem2 7377  sin01bndlem2 7427  cos01bndlem2 7429  cos01gt0 7436  sin02gt0 7437  znnen 7462  ruclem13 7482  bl2in 7805  nmoub3i 8396  blocni 8424  ubthlem12 8499  ubthlem13 8500  ubthlem14 8501  minveclem21 8524  minveclem25 8528  minveclem26 8529  minveclem27 8530  htthlem6 8583  htthlem8 8585  sinperlem1 8640  sinq12gt0t 8660  relogexpt 8729  bcs2t 9004  occllem6 9133  pjthlem8 9181  pjthlem10 9183  nmopub2tALT 9790  nmfnleub2t 9807  nmophm 9917  bdophm 9918  lnopcon 9919  lnfncon 9946  cnlnadjlem2 9957  cnlnadjlem7 9962  nmopadjlem 9978  nmopcoadj 9990  branmfnt 9994  leopnmidt 10027  cdj1 10316  cdj3lem2b 10320  cdj3 10324  mslb1 10545

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-m1r 5156  df-c 5223  df-r 5227  df-mul 5229

Copyright terms: Public domain