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Theorem axpasch 25866
Description: The inner Pasch axiom. Take a triangle 𝐴𝐶𝐸, a point 𝐷 on 𝐴𝐶, and a point 𝐵 extending 𝐶𝐸. Then 𝐴𝐸 and 𝐷𝐵 intersect at some point 𝑥. Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axpasch ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Proof of Theorem axpasch
Dummy variables 𝑖 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpaschlem 25865 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
213ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
3 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)))
43oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)))
54eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) = (𝑞 · (𝐴𝑖)))
6 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)))
76oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) = (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖)))
85, 7oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))))
9 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))
109oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) = (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖)))
118, 10oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
12113ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
14 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
15 simpl2l 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
16 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
1716, 14elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1))
1817simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ (0[,]1) → 𝑟 ∈ ℝ)
1915, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
20 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
2114, 19, 20sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
2221recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℂ)
23 simp13l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
2516, 14elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
2625simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
2724, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
28 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
2914, 27, 28sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
30 simp121 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
31 fveere 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3230, 31sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3329, 32remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3433recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
35 simp123 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
36 fveere 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
3735, 36sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
3827, 37remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
3938recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
4022, 34, 39adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4129recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
4232recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4322, 41, 42mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))))
4427recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
45 fveecn 25827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
4635, 45sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
4722, 44, 46mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖))))
4843, 47oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4940, 48eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
5049oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
5121, 29remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
5251, 32remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
5352recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
5421, 27remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) ∈ ℝ)
5554, 37remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
5655recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
57 simp122 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
58 fveere 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
5957, 58sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6019, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
6160recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
6253, 56, 61add32d 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
6350, 62eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
64 simpl2r 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
6516, 14elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 1))
6665simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ (0[,]1) → 𝑞 ∈ ℝ)
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
68 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
6914, 67, 68sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
70 simp13r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
7216, 14elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1))
7372simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℝ)
7471, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
75 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
7614, 74, 75sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
7776, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
7869, 77remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) ∈ ℝ)
7978recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
8074, 37remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8169, 80remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))) ∈ ℝ)
8281recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
8367, 32remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
8483recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
8579, 82, 84add32d 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
8669recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℂ)
8777recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
8880recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
8986, 87, 88adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
9089oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
9176recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
9259recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
9386, 91, 92mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖)) = ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))))
9493oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)))))
9584, 79, 94comraddd 10288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
9674recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
9786, 96, 46mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))))
9895, 97oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
9985, 90, 983eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
10013, 63, 993eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
101100ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
1021013expia 1286 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
103102reximdvva 3048 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
1042, 103mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
105 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
106105, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
10714, 106, 20sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
108 simpl3l 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
110109, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11114, 110, 28sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
112 simpl21 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
113 fveere 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
114112, 113sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
116 simpl23 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
117 fveere 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
118116, 117sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
119110, 118remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑘)) ∈ ℝ)
120115, 119readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∈ ℝ)
121107, 120remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) ∈ ℝ)
122 simpl22 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
123 fveere 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
124122, 123sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
125106, 124remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
126121, 125readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
127126ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
128127anassrs 681 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
129 simpll1 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
130 mptelee 25820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ))
132128, 131mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
133 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))‘𝑖))
134 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
135134oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)))
136 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
137136oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
138135, 137oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
139138oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
140 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
141140oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (𝐵𝑘)) = (𝑟 · (𝐵𝑖)))
142139, 141oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
143 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))
144 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∈ V
145142, 143, 144fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
146133, 145sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
147146eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
148146eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
149147, 148anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
150 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))
151150biantrur 526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
152149, 151syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
153152ralbidva 3014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
154153rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
155154ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
156132, 155syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
157156reximdva 3046 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
158157reximdva 3046 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
159104, 158mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
160 rexcom 3128 . . . . . . . . 9 (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
161160rexbii 3070 . . . . . . . 8 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
162 rexcom 3128 . . . . . . . 8 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
163161, 162bitri 264 . . . . . . 7 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
164159, 163sylib 208 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
165 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
166165oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
167166eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
168 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → ((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
169168oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
170169eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
171167, 170bi2anan9 935 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
172171ralimi 2981 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
173 ralbi 3097 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
174172, 173syl 17 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
175174rexbidv 3081 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1761752rexbidv 3086 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
177164, 176syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1781773expia 1286 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))))
179178rexlimdvv 3066 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1801793adant3 1101 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
181 simp3l 1109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
182 simp21 1114 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
183 simp23 1116 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
184 brbtwn 25824 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
185181, 182, 183, 184syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
186 simp3r 1110 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
187 simp22 1115 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
188 brbtwn 25824 . . . . 5 ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
189186, 187, 183, 188syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
190185, 189anbi12d 747 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))))))
191 r19.26 3093 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
1921912rexbii 3071 . . . 4 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
193 reeanv 3136 . . . 4 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
194192, 193bitri 264 . . 3 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
195190, 194syl6bbr 278 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))))))
196 simpr 476 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
197 simpl3l 1136 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
198 simpl22 1160 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
199 brbtwn 25824 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
200196, 197, 198, 199syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
201 simpl3r 1137 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
202 simpl21 1159 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
203 brbtwn 25824 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
204196, 201, 202, 203syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
205200, 204anbi12d 747 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
206 r19.26 3093 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
2072062rexbii 3071 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
208 reeanv 3136 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
209207, 208bitri 264 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
210205, 209syl6bbr 278 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
211210rexbidva 3078 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
212180, 195, 2113imtr4d 283 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  𝔼cee 25813   Btwn cbtwn 25814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726  df-icc 12220  df-fz 12365  df-ee 25816  df-btwn 25817
This theorem is referenced by:  eengtrkg  25910  btwncomim  32245  btwnswapid  32249  btwnintr  32251  btwnexch3  32252  trisegint  32260  btwnconn1lem13  32331
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