MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegcon 25852
Description: Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegcon ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem axsegcon
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axsegconlem1 25842 . . . . 5 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
21ex 449 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
3 simprll 819 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simprlr 820 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴𝐵)
6 simprr 811 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7 eqid 2651 . . . . . . . 8 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
8 eqid 2651 . . . . . . . 8 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)
9 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))
107, 8, 9axsegconlem8 25849 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
117, 8axsegconlem7 25848 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1))
127, 8, 9axsegconlem10 25851 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
137, 8, 9axsegconlem9 25850 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
14 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))
1514oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (𝑡 · (𝑥𝑖)) = (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
1615oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
1716eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
1817ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
1914oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
2019oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
2120sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
2221eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
2318, 22anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
24 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (1 − 𝑡) = (1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))))
2524oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) = ((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)))
26 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)) = (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
2725, 26oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
2827eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
2928ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
3029anbi1d 741 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
3123, 30rspc2ev 3355 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
3210, 11, 12, 13, 31syl112anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
333, 4, 5, 6, 32syl31anc 1369 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
3433ex 449 . . . 4 (𝐴𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
352, 34pm2.61ine 2906 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
36 simpllr 815 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37 simplll 813 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
38 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
39 brbtwn 25824 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
41 simplrl 817 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
42 simplrr 818 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43 brcgr 25825 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4436, 38, 41, 42, 43syl22anc 1367 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4540, 44anbi12d 747 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
46 r19.41v 3118 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4745, 46syl6bbr 278 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
4847rexbidva 3078 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
4935, 48mpbird 247 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
50493adant1 1099 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cexp 12900  csqrt 14017  Σcsu 14460  𝔼cee 25813   Btwn cbtwn 25814  Cgrccgr 25815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-ee 25816  df-btwn 25817  df-cgr 25818
This theorem is referenced by:  eengtrkg  25910  cgrtriv  32234  segconeu  32243  btwntriv2  32244  btwnouttr2  32254  btwndiff  32259  ifscgr  32276  cgrxfr  32287  lineext  32308  btwnconn1lem13  32331  btwnconn1lem14  32332  segcon2  32337
  Copyright terms: Public domain W3C validator