MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem1 25704
Description: Lemma for axsegcon 25714. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁,𝑖,𝑥   𝑡,𝐴,𝑖,𝑥   𝑡,𝐵,𝑖,𝑥   𝑡,𝐶,𝑖,𝑥   𝑡,𝐷,𝑖,𝑥

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 25688 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
213ad2antl1 1221 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3 fveere 25688 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
433ad2antl2 1222 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
5 fveere 25688 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
653ad2antl3 1223 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 10405 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 10405 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
98ralrimiva 2960 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
10 eleenn 25683 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 mptelee 25682 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
13123ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
149, 13mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 25689 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
16153ad2antl1 1221 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
17 fveecn 25689 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
18173ad2antl2 1222 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
19 fveecn 25689 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
20193ad2antl3 1223 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
21 1m0e1 11078 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
2221oveq1i 6617 . . . . . . . . . . 11 ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (1 · (𝐵𝑖))
23 mulid2 9985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
24233ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
2522, 24syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
26 subcl 10227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
27 subcl 10227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
2826, 27sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
29283impb 1257 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
3029mul02d 10181 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = 0)
3125, 30oveq12d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = ((𝐵𝑖) + 0))
32 addid1 10163 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
33323ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
3431, 33eqtr2d 2656 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3516, 18, 20, 34syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3635ralrimiva 2960 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3718, 20subcld 10339 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
3816, 37nncand 10344 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
3938oveq1d 6622 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
4039sumeq2dv 14370 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
41 0elunit 12235 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
42 fveq1 6149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖))
43 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
44 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
45 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑖))
4644, 45oveq12d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
4743, 46oveq12d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))
49 ovex 6635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5142, 50sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5251oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝑥𝑖)) = (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5352oveq2d 6623 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
5453eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5554ralbidva 2979 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5651oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5756oveq1d 6622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5857sumeq2dv 14370 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5958eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6055, 59anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
61 oveq2 6615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
6261oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) = ((1 − 0) · (𝐵𝑖)))
63 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
6462, 63oveq12d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
6564eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6665ralbidv 2980 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6766anbi1d 740 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
6860, 67rspc2ev 3309 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 0 ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6941, 68mp3an2 1409 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7014, 36, 40, 69syl12anc 1321 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
71703expb 1263 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7271adantll 749 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
73 fveq1 6149 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖))
7473oveq2d 6623 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
7574oveq1d 6622 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))))
7675eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7776ralbidv 2980 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7877anbi1d 740 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
79782rexbidv 3050 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8072, 79syl5ibr 236 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8180imp 445 1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cmpt 4675  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888  cmin 10213  cn 10967  2c2 11017  [,]cicc 12123  ...cfz 12271  cexp 12803  Σcsu 14353  𝔼cee 25675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-icc 12127  df-fz 12272  df-seq 12745  df-sum 14354  df-ee 25678
This theorem is referenced by:  axsegcon  25714
  Copyright terms: Public domain W3C validator