Theorem axunprim 32931

Description: ax-un 7463 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axunprim	⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Proof of Theorem axunprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 10020	. 2 ⊢ ∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)
2		df-an 399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
3	2	exbii 1848	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
4		exnal 1827	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
5	3, 4	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
6	5	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
7	6	albii 1820	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
8	7	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
9		df-ex 1781	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
10	8, 9	bitri 277	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
11	1, 10	mpbi 232	1 ⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1535  ∃wex 1780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-13 2390  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-reg 9058

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-eprel 5467  df-fr 5516

This theorem is referenced by: (None)