Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem3lem1 36497
Description: Lemma for baerlem3 36503. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem3.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem3.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem3.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem3.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem3.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem3.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19028 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 baerlem3.a1 . . . 4 (𝜑𝑎𝐵)
5 baerlem3.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
65eldifad 3568 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
7 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 baerlem3.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9 baerlem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
10 baerlem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
117, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑌𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
123, 4, 6, 11syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13 baerlem3.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3568 . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
157, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑍𝑉) → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
163, 4, 14, 15syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
17 baerlem3.p . . . 4 + = (+g𝑊)
18 baerlem3.m . . . 4 = (-g𝑊)
19 baerlem3.i . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
20 eqid 2621 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 18842 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
223, 12, 16, 21syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 18844 . 2 (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)))
24 baerlem3.j1 . . 3 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
258lmodring 18795 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
27 ringgrp 18476 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
298, 10, 20lmod1cl 18814 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
303, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3110, 19grpinvcl 17391 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
3228, 30, 31syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2621 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 18812 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑎𝐵𝑍𝑉)) → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1325 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
3610, 33, 20, 19, 26, 4ringnegl 18518 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) = (𝐼𝑎))
37 ringabl 18504 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑑𝐵)
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑒𝐵)
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12 = (+g𝑅)
4210, 41, 19ablinvadd 18139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝐼‘(𝑑 𝑒)) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
4338, 39, 40, 42syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑑 𝑒)) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
44 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 18900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝑉)
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑏𝐵)
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 19012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 19012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
52 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝑊) = (invg𝑊)
5344, 52lssvnegcl 18878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
543, 46, 51, 53syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (0g𝑅)
5610, 55ring0cl 18493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑄𝐵)
5726, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄𝐵)
5810, 41ringacl 18502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
5926, 39, 40, 58syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑊)
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 18820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
623, 47, 61syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
6362oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
64 lmodgrp 18794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
653, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
667, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
673, 49, 14, 66syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
687, 17lmodvacl 18801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
693, 12, 67, 68syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
707, 17, 60grplid 17376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
7165, 69, 70syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
72 lmodabl 18834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
747, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
753, 39, 47, 74syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
767, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑋𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
773, 40, 47, 76syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
787, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑌𝑉) → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
793, 39, 6, 78syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
807, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑍𝑉) → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
813, 40, 14, 80syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
827, 17, 18ablsub4 18142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Abel ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉) ∧ ((𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 18811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵𝑋𝑉)) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
8685oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 18844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)))
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 18844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑒 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍)))
9088, 89oveq12d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
9187, 90eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑗 = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
9283, 86, 913eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑗 = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
937, 8, 9, 10lmodvscl 18804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
943, 59, 47, 93syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
957, 17lmodvacl 18801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
963, 79, 81, 95syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
977, 17, 52, 18grpsubval 17389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
9894, 96, 97syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
9992, 24, 983eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
10063, 71, 993eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 19060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
102101simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 = (𝑑 𝑒))
103102fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼𝑄) = (𝐼‘(𝑑 𝑒)))
10410, 19grpinvcl 17391 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
10528, 39, 104syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
10610, 19grpinvcl 17391 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑒𝐵) → (𝐼𝑒) ∈ 𝐵)
10728, 40, 106syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑒) ∈ 𝐵)
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
109101simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 18836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑒) · 𝑍)))
111109, 110eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑒) · 𝑍)))
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 19061 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = (𝐼𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼𝑒)))
113 oveq12 6616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝐼𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼𝑒)) → (𝑎 𝑏) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
11543, 103, 1143eqtr4rd 2666 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = (𝐼𝑄))
11655, 19grpinvid 17400 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼𝑄) = 𝑄)
11728, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑄) = 𝑄)
118115, 117eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = 𝑄)
11910, 41, 55, 19grpinvid1 17394 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐼𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 𝑏) = 𝑄))
12028, 4, 49, 119syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 𝑏) = 𝑄))
121118, 120mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼𝑎) = 𝑏)
12236, 121eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) = 𝑏)
123122oveq1d 6622 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = (𝑏 · 𝑍))
12435, 123eqtr3d 2657 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)) = (𝑏 · 𝑍))
125124oveq2d 6623 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
12624, 125eqtr4d 2658 . 2 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
12722, 23, 1263eqtr4rd 2666 1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3553  {csn 4150  {cpr 4152  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  .rcmulr 15866  Scalarcsca 15868   ·𝑠 cvsca 15869  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  invgcminusg 17347  -gcsg 17348  LSSumclsm 17973  Abelcabl 18118  1rcur 18425  Ringcrg 18471  LModclmod 18787  LSubSpclss 18854  LSpanclspn 18893  LVecclvec 19024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-drng 18673  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-lvec 19025
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  36500
  Copyright terms: Public domain W3C validator