Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5a 35817
Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. First equation of part (5) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5a (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5a
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.m . 2 = (-g𝑊)
3 baerlem3.o . 2 0 = (0g𝑊)
4 baerlem3.s . 2 = (LSSum‘𝑊)
5 baerlem3.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 baerlem3.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 baerlem3.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
8 baerlem3.c . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9 baerlem3.d . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10 baerlem3.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 baerlem3.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 baerlem5a.p . 2 + = (+g𝑊)
13 eqid 2609 . 2 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2609 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15 eqid 2609 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16 eqid 2609 . 2 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17 eqid 2609 . 2 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2609 . 2 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19 eqid 2609 . 2 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19baerlem5alem2 35814 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cdif 3536  cin 3538  {csn 4124  {cpr 4126  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869  invgcminusg 17192  -gcsg 17193  LSSumclsm 17818  LSpanclspn 18738  LVecclvec 18869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870
This theorem is referenced by:  baerlem5amN  35819  baerlem5abmN  35821  mapdh6lem1N  35836  hdmap1l6lem1  35911
  Copyright terms: Public domain W3C validator