Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5amN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5amN 37322
 Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of first equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 37324 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5amN (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5amN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21eldifad 3619 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
3 baerlem3.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43eldifad 3619 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
5 baerlem3.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 baerlem5a.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
7 eqid 2651 . . . . . . 7 (invg𝑊) = (invg𝑊)
8 baerlem3.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
95, 6, 7, 8grpsubval 17512 . . . . . 6 ((𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
102, 4, 9syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
1110oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))))
1211sneqd 4222 . . 3 (𝜑 → {(𝑋 (𝑌 𝑍))} = {(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))})
1312fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}))
14 baerlem3.o . . 3 0 = (0g𝑊)
15 baerlem3.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
16 baerlem3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17 baerlem3.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
18 baerlem3.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
19 lveclmod 19154 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2017, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
215, 7lmodvnegcl 18952 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
2220, 4, 21syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23 eqid 2651 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 19026 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25 baerlem3.c . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 19000 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 19180 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 19165 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30 baerlem3.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3130necomd 2878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 19165 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 19179 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34 lmodgrp 18918 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3517, 19, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
374adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍𝑉)
385, 7grpinvinv 17529 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
3936, 37, 38syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
4020adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 19026 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4423, 7lssvnegcl 19004 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4540, 42, 43, 44syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4639, 45eqeltrrd 2731 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4733, 46mtand 692 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 19179 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg𝑊)‘𝑍)}))
495, 7, 16lspsnneg 19054 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5020, 4, 49syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5130, 50neeqtrrd 2897 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}))
525, 14, 7grpinvnzcl 17534 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5335, 3, 52syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 37320 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌}))))
5550oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 17535 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
5756sneqd 4222 . . . . 5 (𝜑 → {(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
5857fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
5958oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
6055, 59ineq12d 3848 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
6113, 54, 603eqtrd 2689 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606  {csn 4210  {cpr 4212  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  -gcsg 17471  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator