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Theorem baerlem5blem1 36478
Description: Lemma for baerlem5b 36484. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem5b.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem5b.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem5b.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem5b.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem5b.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1 (𝜑𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
3 baerlem3.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 baerlem3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7 baerlem3.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 lveclmod 19025 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211eldifad 3567 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
13 baerlem3.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3567 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑉)
151, 6, 8, 10, 12, 14lspprcl 18897 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16 baerlem3.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
17 baerlem3.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑎𝐵)
19 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑏𝐵)
201, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14lsppreli 19009 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
213lmodring 18792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
2210, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 18473 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
25 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑑𝐵)
26 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
274, 26grpinvcl 17388 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
2824, 25, 27syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
291, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14lsppreli 19009 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30 baerlem3.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (0g𝑅)
313, 4, 30lmod0cl 18810 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑄𝐵)
3210, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐵)
33 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑒𝐵)
34 baerlem3.a . . . . . . . . . 10 = (+g𝑅)
353, 4, 34lmodacl 18795 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
3610, 25, 33, 35syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
371, 3, 5, 4lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑌𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3810, 18, 12, 37syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
391, 3, 5, 4lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
4010, 19, 14, 39syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
411, 2lmodvacl 18798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
4210, 38, 40, 41syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑊)
441, 2, 43lmod0vlid 18814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
4510, 42, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
461, 3, 5, 30, 43lmod0vs 18817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
4710, 16, 46syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
4847oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
5045, 48, 493eqtr4d 2665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13 = (-g𝑊)
521, 2lmodvacl 18798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
5310, 12, 14, 52syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
541, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53lmodsubdi 18841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
551, 3, 5, 4lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
5610, 25, 16, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
571, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53lmodsubvs 18840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
581, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 18807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
5910, 28, 12, 14, 58syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6059oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
6154, 57, 603eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
6261oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
641, 2, 3, 5, 4, 34lmodvsdir 18808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵𝑋𝑉)) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
6510, 25, 33, 16, 64syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
6665oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
67 lmodabl 18831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6810, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
691, 3, 5, 4lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑋𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
7010, 33, 16, 69syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
711, 3, 5, 4lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑌𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
7210, 28, 12, 71syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
731, 3, 5, 4lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑍𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
7410, 28, 14, 73syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
751, 2lmodvacl 18798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
7610, 72, 74, 75syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
771, 2, 68, 56, 70, 76abl32 18135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
7866, 77eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
7962, 63, 783eqtr4d 2665 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑗 = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
8050, 79eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80lvecindp 19057 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
8281simpld 475 . . . . . 6 (𝜑𝑄 = (𝑑 𝑒))
8382oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 𝑒) · 𝑋))
8483, 47eqtr3d 2657 . . . 4 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = 0 )
8584oveq1d 6619 . . 3 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
861, 2, 43lmod0vlid 18814 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8710, 76, 86syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8885, 87eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8988, 79, 593eqtr4d 2665 1 (𝜑𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  -gcsg 17345  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  36481
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