Theorem ballotlem4 31751

Description: If the first pick is a vote for B, A is not ahead throughout the count. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem4	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnaddcl 11654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5		elnnuz 12276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1)
7		eluzfz1 12908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))
9		0le1 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
10		0re 10637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 10635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	lenlti 10754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
13	9, 12	mpbi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 < 0
14		ltsub13 11115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0)))
15	10, 10, 11, 14	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0))
16		0m0e0 11751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 − 0) = 0
17	16	breq2i 5067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < (0 − 0) ↔ 1 < 0)
18	15, 17	bitri 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < 0)
19	13, 18	mtbir 325	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < (0 − 1)
20		1m1e0 11703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	fveq2i 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
22		ballotth.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
23		ballotth.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
24		ballotth.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
25	1, 2, 22, 23, 24	ballotlemfval0 31748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
26	21, 25	syl5eq 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = 0)
27	26	oveq1d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (0 − 1))
28	27	breq2d 5071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) ↔ 0 < (0 − 1)))
29	19, 28	mtbiri 329	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
30	29	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
31		simpl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶 ∈ 𝑂)
32		1nn 11643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
34	1, 2, 22, 23, 24, 31, 33	ballotlemfp1 31744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
35	34	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
36	8, 35	mpan2 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
37	36	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
38	37	breq2d 5071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘1) ↔ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
39	30, 38	mtbird 327	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1))
40		fveq2 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
41	40	breq2d 5071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
42	41	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
43	42	rspcev 3623	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
44	8, 39, 43	sylancr 589	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
45		rexnal 3238	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
46	44, 45	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
47		ballotth.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
48	1, 2, 22, 23, 24, 47	ballotleme 31749	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ (𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖)))
49	48	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
50	46, 49	nsyl 142	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸)
51	50	ex 415	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∖ cdif 3933   ∩ cin 3935  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  ♯chash 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685

This theorem is referenced by:  ballotth  31790