Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem5 30384
Description: If A is not ahead throughout, there is a 𝑘 where votes are tied. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
Assertion
Ref Expression
ballotlem5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹   𝑘,𝐹   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem5
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . 2 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . 2 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . 2 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5 ballotth.f . 2 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 3716 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
71a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝑀 ∈ ℕ)
82a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nnaddcld 11027 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
10 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
111, 2, 3, 4, 5, 10ballotlemodife 30382 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ↔ (𝐶𝑂 ∧ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0))
1211simprbi 480 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
13 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
142nnrei 10989 . . . . 5 𝑁 ∈ ℝ
151nnrei 10989 . . . . 5 𝑀 ∈ ℝ
1614, 15posdifi 10538 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀𝑁))
1713, 16mpbi 220 . . 3 0 < (𝑀𝑁)
181, 2, 3, 4, 5ballotlemfmpn 30379 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
196, 18syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
2017, 19syl5breqr 4661 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 0 < ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 20ballotlemfc0 30377 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  cdif 3557  cin 3559  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  cz 11337  ...cfz 12284  #chash 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074
This theorem is referenced by:  ballotlemiex  30386  ballotlemsup  30389
  Copyright terms: Public domain W3C validator