Theorem ballotlemfmpn 30684

Description: (𝐹‘𝐶) finishes counting at (𝑀 − 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfmpn	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		nnaddcl 11080	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 2, 7	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
9	8	nnzi 11439	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ballotlemfval 30679	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12		ssrab2 3720	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
13	3, 12	eqsstri 3668	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
14	13	sseli 3632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
15	14	elpwid 4203	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16		sseqin2 3850	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
18	17	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (#‘𝐶))
19		rabssab 3723	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
20	19	sseli 3632	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
21	20, 3	eleq2s 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
22		fveq2 6229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (#‘𝑏) = (#‘𝐶))
23	22	eqeq1d 2653	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((#‘𝑏) = 𝑀 ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
24		fveq2 6229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (#‘𝑐) = (#‘𝑏))
25	24	eqeq1d 2653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((#‘𝑐) = 𝑀 ↔ (#‘𝑏) = 𝑀))
26	25	cbvabv 2776	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (#‘𝑏) = 𝑀}
27	23, 26	elab2g 3385	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
28	21, 27	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘𝐶) = 𝑀)
29	18, 28	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
30		fzfi 12811	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
31		hashssdif 13238	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
32	30, 15, 31	sylancr 696	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
33	8	nnnn0i 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
34		hashfz1 13174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
35	33, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
36	35, 28	oveq12d 6708	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
37	1	nncni 11068	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
38	2	nncni 11068	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
39		pncan2 10326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
40	37, 38, 39	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
42	32, 36, 41	3eqtrd 2689	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
43	29, 42	oveq12d 6708	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀 − 𝑁))
44	11, 43	eqtrd 2685	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  {crab 2945   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ...cfz 12364  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  ballotlem5  30689