Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfmpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfmpn 29689
Description: (𝐹𝐶) finishes counting at (𝑀𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfmpn (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 nnaddcl 10889 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
81, 2, 7mp2an 703 . . . . 5 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
98nnzi 11234 . . . 4 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
109a1i 11 . . 3 (𝐶𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ballotlemfval 29684 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12 ssrab2 3649 . . . . . . . . 9 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
133, 12eqsstri 3597 . . . . . . . 8 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
1413sseli 3563 . . . . . . 7 (𝐶𝑂𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
1514elpwid 4117 . . . . . 6 (𝐶𝑂𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16 sseqin2 3778 . . . . . 6 (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1715, 16sylib 206 . . . . 5 (𝐶𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1817fveq2d 6092 . . . 4 (𝐶𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (#‘𝐶))
19 rabssab 3651 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
2019sseli 3563 . . . . . 6 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
2120, 3eleq2s 2705 . . . . 5 (𝐶𝑂𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
22 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐶 → (#‘𝑏) = (#‘𝐶))
2322eqeq1d 2611 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐶 → ((#‘𝑏) = 𝑀 ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
24 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → (#‘𝑐) = (#‘𝑏))
2524eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → ((#‘𝑐) = 𝑀 ↔ (#‘𝑏) = 𝑀))
2625cbvabv 2733 . . . . . 6 {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (#‘𝑏) = 𝑀}
2723, 26elab2g 3321 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
2821, 27mpbid 220 . . . 4 (𝐶𝑂 → (#‘𝐶) = 𝑀)
2918, 28eqtrd 2643 . . 3 (𝐶𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
30 fzfi 12588 . . . . 5 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
31 hashssdif 13013 . . . . 5 (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
3230, 15, 31sylancr 693 . . . 4 (𝐶𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
338nnnn0i 11147 . . . . . 6 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
34 hashfz1 12948 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3533, 34mp1i 13 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3635, 28oveq12d 6545 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
371nncni 10877 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
382nncni 10877 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
39 pncan2 10139 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
4037, 38, 39mp2an 703 . . . . 5 ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
4140a1i 11 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
4232, 36, 413eqtrd 2647 . . 3 (𝐶𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
4329, 42oveq12d 6545 . 2 (𝐶𝑂 → ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀𝑁))
4411, 43eqtrd 2643 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  {crab 2899  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  𝒫 cpw 4107  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  1c1 9793   + caddc 9795  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  ...cfz 12152  #chash 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935
This theorem is referenced by:  ballotlem5  29694
  Copyright terms: Public domain W3C validator