Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemgun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemgun 30391
Description: A property of the defined operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((#‘(𝑣𝑢)) − (#‘(𝑣𝑢))))
ballotlemgun.1 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
ballotlemgun.2 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
ballotlemgun.3 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
ballotlemgun.4 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
Assertion
Ref Expression
ballotlemgun (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐼   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑈,𝑣   𝑢,𝑉,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑊(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)

Proof of Theorem ballotlemgun
StepHypRef Expression
1 indir 3856 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
21fveq2i 6156 . . . . 5 (#‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = (#‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
3 ballotlemgun.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
4 infi 8136 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
6 ballotlemgun.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
7 infi 8136 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
9 ballotlemgun.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
109ineq1d 3796 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = (∅ ∩ 𝑈))
11 inindir 3814 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
12 0in 3946 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝑈) = ∅
1310, 11, 123eqtr3g 2678 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
14 hashun 13119 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (#‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))))
155, 8, 13, 14syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))))
162, 15syl5eq 2667 . . . 4 (𝜑 → (#‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))))
17 difundir 3861 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
1817fveq2i 6156 . . . . 5 (#‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = (#‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
19 diffi 8144 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
21 diffi 8144 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
239difeq1d 3710 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = (∅ ∖ 𝑈))
24 difindir 3863 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
25 0dif 3954 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝑈) = ∅
2623, 24, 253eqtr3g 2678 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
27 hashun 13119 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (#‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))))
2820, 22, 26, 27syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))))
2918, 28syl5eq 2667 . . . 4 (𝜑 → (#‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))))
3016, 29oveq12d 6628 . . 3 (𝜑 → ((#‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (#‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))) − ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈)))))
31 hashcl 13095 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (#‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
323, 4, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11305 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
34 hashcl 13095 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (#‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
356, 7, 343syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11305 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
37 hashcl 13095 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (#‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
383, 19, 373syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11305 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
40 hashcl 13095 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (#‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
416, 21, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 11305 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
4333, 36, 39, 42addsub4d 10391 . . 3 (𝜑 → (((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈))) − ((#‘(𝑉𝑈)) + (#‘(𝑊𝑈)))) = (((#‘(𝑉𝑈)) − (#‘(𝑉𝑈))) + ((#‘(𝑊𝑈)) − (#‘(𝑊𝑈)))))
4430, 43eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((#‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (#‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((#‘(𝑉𝑈)) − (#‘(𝑉𝑈))) + ((#‘(𝑊𝑈)) − (#‘(𝑊𝑈)))))
45 ballotlemgun.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
46 unfi 8179 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
473, 6, 46syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
48 ballotth.m . . . 4 𝑀 ∈ ℕ
49 ballotth.n . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
50 ballotth.o . . . 4 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
51 ballotth.p . . . 4 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
52 ballotth.f . . . 4 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
53 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
54 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
55 ballotth.i . . . 4 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
56 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
57 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
58 ballotlemg . . . 4 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((#‘(𝑣𝑢)) − (#‘(𝑣𝑢))))
5948, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 30390 . . 3 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑉𝑊) ∈ Fin) → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((#‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (#‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6045, 47, 59syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((#‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (#‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6148, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 30390 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑈 𝑉) = ((#‘(𝑉𝑈)) − (#‘(𝑉𝑈))))
6245, 3, 61syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = ((#‘(𝑉𝑈)) − (#‘(𝑉𝑈))))
6348, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 30390 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 𝑊) = ((#‘(𝑊𝑈)) − (#‘(𝑊𝑈))))
6445, 6, 63syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑊) = ((#‘(𝑊𝑈)) − (#‘(𝑊𝑈))))
6562, 64oveq12d 6628 . 2 (𝜑 → ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)) = (((#‘(𝑉𝑈)) − (#‘(𝑉𝑈))) + ((#‘(𝑊𝑈)) − (#‘(𝑊𝑈)))))
6644, 60, 653eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  c0 3896  ifcif 4063  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cima 5082  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  Fincfn 7907  infcinf 8299  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  ...cfz 12276  #chash 13065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-hash 13066
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  30395
  Copyright terms: Public domain W3C validator