MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem6 24725
Description: Lemma for basel 24729. The function 𝐺 goes to zero because it is bounded by 1 / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
basellem6 𝐺 ⇝ 0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11674 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11359 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 9945 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 divcnv 14517 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6 basel.g . . . . 5 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
7 nnex 10977 . . . . . 6 ℕ ∈ V
87mptex 6446 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
96, 8eqeltri 2694 . . . 4 𝐺 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
11 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
12 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13 ovex 6638 . . . . . 6 (1 / 𝑘) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
1514adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
16 nnrecre 11008 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1815, 17eqeltrd 2698 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
19 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2019oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
2120oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
22 ovex 6638 . . . . . 6 (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ V
2321, 6, 22fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
2423adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
25 2nn 11136 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27 nnmulcl 10994 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2826, 27sylan 488 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2928peano2nnd 10988 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3029nnrecred 11017 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
3124, 30eqeltrd 2698 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
32 nnre 10978 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3332adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
3428nnred 10986 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
3529nnred 10986 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36 nnnn0 11250 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38 nn0addge1 11290 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
3933, 37, 38syl2anc 692 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
4033recnd 10019 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
41402timesd 11226 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
4239, 41breqtrrd 4646 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
4334lep1d 10906 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
4433, 34, 35, 42, 43letrd 10145 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
45 nngt0 11000 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
4645adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
4729nngt0d 11015 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
48 lerec 10857 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) + 1))) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 1324 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
5044, 49mpbid 222 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
5150, 24, 153brtr4d 4650 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘))
5229nnrpd 11821 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
5352rpreccld 11833 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 11827 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
5554, 24breqtrrd 4646 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 14313 . 2 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
5756trud 1490 1 𝐺 ⇝ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892   < clt 10025  cle 10026   / cdiv 10635  cn 10971  2c2 11021  0cn0 11243  cli 14156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161
This theorem is referenced by:  basellem7  24726  basellem9  24728
  Copyright terms: Public domain W3C validator