MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem7 24730
Description: Lemma for basel 24733. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
basellem7 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11675 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11360 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 9946 . . . . 5 1 ∈ ℂ
41eqimss2i 3644 . . . . . 6 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
5 nnex 10978 . . . . . 6 ℕ ∈ V
64, 5climconst2 14221 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
73, 2, 6sylancr 694 . . . 4 (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8 ovexd 6640 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ V)
9 basellem7.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
104, 5climconst2 14221 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
119, 2, 10sylancr 694 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12 ovexd 6640 . . . . . 6 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
13 basel.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
1413basellem6 24729 . . . . . . 7 𝐺 ⇝ 0
1514a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
169elexi 3202 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
1716fconst 6053 . . . . . . . 8 (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
189a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1918snssd 4314 . . . . . . . 8 (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20 fss 6018 . . . . . . . 8 (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2117, 19, 20sylancr 694 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2221ffvelrnda 6320 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23 2nn 11137 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25 nnmulcl 10995 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2624, 25sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2726peano2nnd 10989 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2827nnrecred 11018 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
2928recnd 10020 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3029, 13fmptd 6346 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
3130ffvelrnda 6320 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
32 ffn 6007 . . . . . . . 8 ((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
3321, 32syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
34 ffn 6007 . . . . . . . 8 (𝐺:ℕ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℕ)
3530, 34syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
365a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℕ ∈ V)
37 inidm 3805 . . . . . . 7 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
38 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
39 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
4033, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofval 6866 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
411, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 40climmul 14305 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
429mul01i 10178 . . . . 5 (𝐴 · 0) = 0
4341, 42syl6breq 4659 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
44 1ex 9987 . . . . . . 7 1 ∈ V
4544fconst 6053 . . . . . 6 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
463a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
4746snssd 4314 . . . . . 6 (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
48 fss 6018 . . . . . 6 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
4945, 47, 48sylancr 694 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6320 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
51 mulcl 9972 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5251adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5352, 21, 30, 36, 36, 37off 6872 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6320 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
5545a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
56 ffn 6007 . . . . . 6 ((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
58 ffn 6007 . . . . . 6 (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
5953, 58syl 17 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
60 eqidd 2622 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
61 eqidd 2622 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
6257, 59, 36, 36, 37, 60, 61ofval 6866 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
631, 2, 7, 8, 43, 50, 54, 62climadd 14304 . . 3 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
6463trud 1490 . 2 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
65 1p0e1 11085 . 2 (1 + 0) = 1
6664, 65breqtri 4643 1 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  cz 11329  cuz 11639  cli 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162
This theorem is referenced by:  basellem9  24732
  Copyright terms: Public domain W3C validator