MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basqtop 22247
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
basqtop ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases)

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6615 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
32elqtop2 22237 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
42elqtop2 22237 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
53, 4anbi12d 630 . . . . 5 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))))
61, 5sylan2 592 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))))
7 simpl1l 1216 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐽 ∈ TopBases)
8 simpl2r 1219 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
9 simpl3r 1221 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
10 simpl1r 1217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
11 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
12 f1ofn 6609 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹 Fn 𝑌)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐹 Fn 𝑌)
14 simpl2l 1218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑥𝑌)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦))
1615elin1d 4172 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑥)
17 fnfvima 6986 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑌𝑥𝑌𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
19 simpl3l 1220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑦𝑌)
2015elin2d 4173 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑦)
21 fnfvima 6986 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌𝑧𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))
2213, 19, 20, 21syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))
2318, 22elind 4168 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
24 basis2 21487 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))) → ∃𝑤𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))
257, 8, 9, 23, 24syl22anc 834 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))
2610adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
27 inss1 4202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑥
28 simp2l 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥𝑌)
2927, 28sstrid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ 𝑌)
3029sselda 3964 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑌)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧𝑌)
32 f1ocnvfv2 7025 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑧𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3326, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
34 f1ofn 6609 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 Fn 𝑋)
3526, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹 Fn 𝑋)
36 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
37 inss1 4202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)) ⊆ (𝐹𝑥)
3836, 37sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ (𝐹𝑥))
39 cnvimass 5942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑥) ⊆ dom 𝐹
40 f1odm 6612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → dom 𝐹 = 𝑋)
4239, 41sseqtrid 4016 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑋)
4338, 42sstrd 3974 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤𝑋)
44 simprrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑤)
45 fnfvima 6986 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑋𝑤𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑤) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑤))
4635, 43, 44, 45syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑤))
4733, 46eqeltrrd 2911 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑤))
48 imassrn 5933 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑤) ⊆ ran 𝐹
4926, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
50 forn 6586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ran 𝐹 = 𝑌)
5248, 51sseqtrid 4016 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑌)
53 f1of1 6607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
5426, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
55 f1imacnv 6624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝑤𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
5654, 43, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
57 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤𝐽)
5856, 57eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)
597adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐽 ∈ TopBases)
602elqtop2 22237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6159, 49, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6252, 58, 61mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
63 fnfun 6446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
64 inpreima 6826 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑥𝑦)) = ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
6535, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝑥𝑦)) = ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
6636, 65sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦)))
6735, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → Fun 𝐹)
6838, 39sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
69 funimass3 6816 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦))))
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ((𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦))))
7166, 70mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
72 vex 3495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
7372inex1 5212 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑦) ∈ V
7473elpw2 5239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑤) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
7571, 74sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦))
7662, 75elind 4168 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
77 elunii 4835 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
7847, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
7925, 78rexlimddv 3288 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8079ex 413 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8180ssrdv 3970 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
82813expib 1114 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
836, 82sylbid 241 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8483ralrimivv 3187 . 2 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
85 ovex 7178 . . 3 (𝐽 qTop 𝐹) ∈ V
86 isbasisg 21483 . . 3 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ V → ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8785, 86ax-mp 5 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8884, 87sylibr 235 1 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535   cuni 4830  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  1-1wf1 6345  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145   qTop cqtop 16764  TopBasesctb 21481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-qtop 16768  df-bases 21482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator