Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastg 20681
 Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
2 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
32pwid 4145 . . . . . . 7 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
51, 4elind 3776 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6 elssuni 4433 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
87ex 450 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9 eltg 20672 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
108, 9sylibrd 249 . 2 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
1110ssrdv 3589 1 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402  ‘cfv 5847  topGenctg 16019 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-topgen 16025 This theorem is referenced by:  unitg  20682  tgclb  20685  tgtop  20688  tgidm  20695  tgss3  20701  bastop2  20709  elcls3  20797  ordtopn1  20908  ordtopn2  20909  leordtval2  20926  iocpnfordt  20929  icomnfordt  20930  iooordt  20931  tgcn  20966  tgcnp  20967  tgcmp  21114  2ndcsb  21162  2ndc1stc  21164  2ndcctbss  21168  2ndcomap  21171  ptopn  21296  xkoopn  21302  txopn  21315  txbasval  21319  ptpjcn  21324  flftg  21710  alexsubb  21760  blssopn  22210  iooretop  22479  bndth  22665  ovolicc2  23197  cncombf  23331  cnmbf  23332  ordtconnlem1  29752  elmbfmvol2  30110  dya2icoseg2  30121  iccllysconn  30940  rellysconn  30941  topjoin  32002  fnemeet2  32004  fnejoin1  32005  ontgval  32072  mblfinlem3  33080  mblfinlem4  33081  ismblfin  33082  cnambfre  33090  kelac2  37115
 Copyright terms: Public domain W3C validator