Theorem bcmax 25857

Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcmax	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11917	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 11936	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	sylancr 589	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6		nn0re 11909	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	leidd 11209	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
8		nn0cn 11910	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
9		2cn 11715	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 11744	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11		divcan3 11327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
12	9, 10, 11	mp3an23 1449	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
14	7, 13	breqtrrd 5097	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
15	2, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16		bcmono 25856	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
17	4, 5, 15, 16	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	1, 18, 3	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		bccmpl 13672	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
22	19, 20, 21	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
23	18	nn0red 11959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	recnd 10672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 11883	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
26	20	zred 12090	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27		eluzle 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
28	27	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
29	23, 26, 23, 28	leadd2dd 11258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
30	25, 29	eqbrtrd 5091	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
31	19	nn0red 11959	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 26, 23	lesubaddd 11240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
33	30, 32	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
34	19	nn0zd 12088	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	34, 20	zsubcld 12095	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
36	18	nn0zd 12088	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eluz 12260	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	35, 36, 37	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	33, 38	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
40	18, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41		bcmono 25856	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
42	19, 39, 40, 41	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
43	22, 42	eqbrtrd 5091	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		nn0z 12008	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		uztric 12269	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
48	44, 46, 47	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
49	17, 43, 48	mpjaodan 955	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540   + caddc 10543   · cmul 10545   ≤ cle 10679   − cmin 10873   / cdiv 11300  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  Ccbc 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-fac 13637  df-bc 13666

This theorem is referenced by: (None)