MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcmax 24898
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 11254 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 simpll 789 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0mulcl 11274 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
41, 2, 3sylancr 694 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5 simpr 477 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
6 nn0re 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
76leidd 10539 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
8 nn0cn 11247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
9 2cn 11036 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
10 2ne0 11058 . . . . . . 7 2 ≠ 0
11 divcan3 10656 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
129, 10, 11mp3an23 1413 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
147, 13breqtrrd 4646 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
152, 14syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16 bcmono 24897 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
174, 5, 15, 16syl3anc 1323 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18 simpll 789 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
191, 18, 3sylancr 694 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20 simplr 791 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21 bccmpl 13033 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2219, 20, 21syl2anc 692 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2318nn0red 11297 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423recnd 10013 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25242timesd 11220 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2620zred 11426 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27 eluzle 11644 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2827adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 10587 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3025, 29eqbrtrd 4640 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3119nn0red 11297 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 26, 23lesubaddd 10569 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3330, 32mpbird 247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
3419nn0zd 11424 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
3534, 20zsubcld 11431 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
3618nn0zd 11424 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37 eluz 11645 . . . . . 6 ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3835, 36, 37syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3933, 38mpbird 247 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
4018, 14syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41 bcmono 24897 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4219, 39, 40, 41syl3anc 1323 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4322, 42eqbrtrd 4640 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44 simpr 477 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45 nn0z 11345 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4645adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 uztric 11653 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4844, 46, 47syl2anc 692 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4917, 43, 48mpjaodan 826 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  Ccbc 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-fac 12998  df-bc 13027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator