MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn1 13037
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11239 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1eluzge0 11676 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ‘0))
4 elnnuz 11668 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
54biimpi 206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 elfzuzb 12275 . . . . . 6 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘1)))
73, 5, 6sylanbrc 697 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8 bcval2 13029 . . . . 5 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10 facnn2 13006 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11 fac1 13001 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1211oveq2i 6616 . . . . . 6 ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13 nnm1nn0 11279 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14 faccl 13007 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
1615nncnd 10981 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1716mulid1d 10002 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
1812, 17syl5eq 2672 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
1910, 18oveq12d 6623 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
20 nncn 10973 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2115nnne0d 11010 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
2220, 16, 21divcan3d 10751 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
239, 19, 223eqtrd 2664 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
24 0nn0 11252 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
25 1z 11352 . . . . 5 1 ∈ ℤ
26 0lt1 10495 . . . . . 6 0 < 1
2726olci 406 . . . . 5 (1 < 0 ∨ 0 < 1)
28 bcval4 13031 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
2924, 25, 27, 28mp3an 1421 . . . 4 (0C1) = 0
30 oveq1 6612 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
31 eqeq12 2639 . . . . 5 (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3230, 31mpancom 702 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3329, 32mpbiri 248 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
3423, 33jaoi 394 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
351, 34sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   < clt 10019  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  !cfa 12997  Ccbc 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-fac 12998  df-bc 13027
This theorem is referenced by:  bcnp1n  13038  bcn2m1  13048  bcn2p1  13049  bcnm1  13051  bpoly2  14708  bpoly3  14709  bpoly4  14710  jm2.23  37029
  Copyright terms: Public domain W3C validator