Theorem bcn1 13140

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11332	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1eluzge0 11770	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elnnuz 11762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5	4	biimpi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		elfzuzb 12374	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	3, 5, 6	sylanbrc 699	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8		bcval2 13132	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10		facnn2 13109	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11		fac1 13104	. . . . . . 7 ⊢ (!‘1) = 1
12	11	oveq2i 6701	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13		nnm1nn0 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14		faccl 13110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 11074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
17	16	mulid1d 10095	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
18	12, 17	syl5eq 2697	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
19	10, 18	oveq12d 6708	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
20		nncn 11066	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21	15	nnne0d 11103	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
22	20, 16, 21	divcan3d 10844	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
23	9, 19, 22	3eqtrd 2689	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
24		0nn0 11345	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		1z 11445	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		0lt1 10588	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
27	26	olci 405	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
28		bcval4 13134	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
29	24, 25, 27, 28	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (0C1) = 0
30		oveq1 6697	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
31		eqeq12 2664	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
32	30, 31	mpancom 704	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
33	29, 32	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
34	23, 33	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
35	1, 34	sylbi 207	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725  ...cfz 12364  !cfa 13100  Ccbc 13129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-fac 13101  df-bc 13130

This theorem is referenced by:  bcnp1n  13141  bcn2m1  13151  bcn2p1  13152  bcnm1  13154  bpoly2  14832  bpoly3  14833  bpoly4  14834  jm2.23  37880