MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn2m1 13048
Description: Compute the binomial coefficient "𝑁 choose 2 " from "(𝑁 − 1) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2m1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Proof of Theorem bcn2m1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 11279 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21nn0cnd 11298 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3 2z 11354 . . . . 5 2 ∈ ℤ
4 bccl 13046 . . . . 5 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
51, 3, 4sylancl 693 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 11298 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℂ)
72, 6addcomd 10183 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)))
8 bcn1 13037 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1)C1) = (𝑁 − 1))
98eqcomd 2632 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
101, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
11 1e2m1 11081 . . . . . 6 1 = (2 − 1)
1211a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
1312oveq2d 6621 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1410, 13eqtrd 2660 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1514oveq2d 6621 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))))
16 bcpasc 13045 . . . 4 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
171, 3, 16sylancl 693 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
18 nncn 10973 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19 1cnd 10001 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 10341 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2120oveq1d 6620 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1)C2) = (𝑁C2))
2217, 21eqtrd 2660 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (𝑁C2))
237, 15, 223eqtrd 2664 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884  cmin 10211  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  Ccbc 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-fac 12998  df-bc 13027
This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  26230
  Copyright terms: Public domain W3C validator