Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcneg1 31818
Description: The binomial coefficent over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
bcneg1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1
StepHypRef Expression
1 neg1z 11494 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 bcval 13174 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
31, 2mpan2 709 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
4 neg1lt0 11208 . . . . . 6 -1 < 0
5 neg1rr 11206 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
6 0re 10121 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
75, 6ltnlei 10239 . . . . . 6 (-1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
84, 7mpbi 220 . . . . 5 ¬ 0 ≤ -1
98intnanr 999 . . . 4 ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10 nn0z 11481 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
11 0z 11469 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
12 elfz 12414 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
131, 11, 12mp3an12 1495 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
159, 14mtbiri 316 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
1615iffalsed 4173 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0) = 0)
173, 16eqtrd 2726 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  ifcif 4162   class class class wbr 4728  cfv 5969  (class class class)co 6733  0cc0 10017  1c1 10018   · cmul 10022   < clt 10155  cle 10156  cmin 10347  -cneg 10348   / cdiv 10765  0cn0 11373  cz 11458  ...cfz 12408  !cfa 13143  Ccbc 13172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-fz 12409  df-bc 13173
This theorem is referenced by:  fwddifnp1  32467
  Copyright terms: Public domain W3C validator