MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1n 13059
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 12391 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 facp1 13021 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4 fznn0sub 12331 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
5 facp1 13021 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
71nn0cnd 11313 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 10016 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12390 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11313 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
117, 8, 10addsubd 10373 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
1211fveq2d 6162 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
1311oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2665 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
1514oveq1d 6630 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
164faccld 13027 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
1716nncnd 10996 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
18 nn0p1nn 11292 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
2011, 19eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
2120nncnd 10996 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
229faccld 13027 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
2322nncnd 10996 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
2417, 21, 23mul32d 10206 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
2515, 24eqtrd 2655 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
263, 25oveq12d 6633 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
271faccld 13027 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2827nncnd 10996 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29 nn0p1nn 11292 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
301, 29syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3130nncnd 10996 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3216, 22nnmulcld 11028 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33 nncn 10988 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34 nnne0 11013 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
3533, 34jca 554 . . . . 5 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3632, 35syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3720nnne0d 11025 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
3821, 37jca 554 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39 divmuldiv 10685 . . . 4 ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4028, 31, 36, 38, 39syl22anc 1324 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4126, 40eqtr4d 2658 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42 fzelp1 12351 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43 bcval2 13048 . . 3 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
4442, 43syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45 bcval2 13048 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
4645oveq1d 6630 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4741, 44, 463eqtr4d 2665 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  0cn0 11252  ...cfz 12284  !cfa 13016  Ccbc 13045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-seq 12758  df-fac 13017  df-bc 13046
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13060  bcpasc  13064  bcp1ctr  24938  bcm1n  29437  bcm1nt  31384
  Copyright terms: Public domain W3C validator