Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bcs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcs 27211
 Description: Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Remark 3.4 of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bcs ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) · (norm𝐵)))

Proof of Theorem bcs
StepHypRef Expression
1 oveq1 6432 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
21fveq2d 5990 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵)))
3 fveq2 5986 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm𝐴) = (norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
43oveq1d 6440 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm𝐴) · (norm𝐵)) = ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)))
52, 4breq12d 4494 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) · (norm𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵)) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵))))
6 oveq2 6433 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
76fveq2d 5990 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (abs‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
8 fveq2 5986 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm𝐵) = (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
98oveq2d 6441 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)) = ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
107, 9breq12d 4494 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((abs‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵)) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
11 ifhvhv0 27052 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
12 ifhvhv0 27052 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
1311, 12bcsiHIL 27210 . 2 (abs‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
145, 10, 13dedth2h 3993 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) · (norm𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  ifcif 3939   class class class wbr 4481  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425   · cmul 9695   ≤ cle 9829  abscabs 13679   ℋchil 26949   ·ih csp 26952  normℎcno 26953  0ℎc0v 26954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768  ax-addf 9769  ax-mulf 9770  ax-hilex 27029  ax-hfvadd 27030  ax-hvcom 27031  ax-hvass 27032  ax-hv0cl 27033  ax-hvaddid 27034  ax-hfvmul 27035  ax-hvmulid 27036  ax-hvmulass 27037  ax-hvdistr1 27038  ax-hvdistr2 27039  ax-hvmul0 27040  ax-hfi 27109  ax-his1 27112  ax-his2 27113  ax-his3 27114  ax-his4 27115 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6670  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-supp 7057  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-2o 7323  df-oadd 7326  df-er 7504  df-map 7621  df-ixp 7670  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-fsupp 8034  df-fi 8075  df-sup 8106  df-inf 8107  df-oi 8173  df-card 8523  df-cda 8748  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-4 10835  df-5 10836  df-6 10837  df-7 10838  df-8 10839  df-9 10840  df-n0 11047  df-z 11118  df-dec 11233  df-uz 11427  df-q 11530  df-rp 11574  df-xneg 11687  df-xadd 11688  df-xmul 11689  df-ioo 11918  df-icc 11921  df-fz 12065  df-fzo 12202  df-seq 12531  df-exp 12590  df-hash 12847  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681  df-clim 13931  df-sum 14132  df-struct 15579  df-ndx 15580  df-slot 15581  df-base 15582  df-sets 15583  df-ress 15584  df-plusg 15663  df-mulr 15664  df-starv 15665  df-sca 15666  df-vsca 15667  df-ip 15668  df-tset 15669  df-ple 15670  df-ds 15673  df-unif 15674  df-hom 15675  df-cco 15676  df-rest 15788  df-topn 15789  df-0g 15807  df-gsum 15808  df-topgen 15809  df-pt 15810  df-prds 15813  df-xrs 15867  df-qtop 15873  df-imas 15874  df-xps 15877  df-mre 15959  df-mrc 15960  df-acs 15962  df-mgm 16955  df-sgrp 16997  df-mnd 17008  df-submnd 17049  df-mulg 17254  df-cntz 17463  df-cmn 17924  df-psmet 19461  df-xmet 19462  df-met 19463  df-bl 19464  df-mopn 19465  df-cnfld 19470  df-top 20422  df-bases 20423  df-topon 20424  df-topsp 20425  df-cld 20534  df-ntr 20535  df-cls 20536  df-cn 20742  df-cnp 20743  df-t1 20829  df-haus 20830  df-tx 21076  df-hmeo 21269  df-xms 21835  df-ms 21836  df-tms 21837  df-grpo 26470  df-gid 26471  df-ginv 26472  df-gdiv 26473  df-ablo 26525  df-vc 26540  df-nv 26588  df-va 26591  df-ba 26592  df-sm 26593  df-0v 26594  df-vs 26595  df-nmcv 26596  df-ims 26597  df-dip 26714  df-ph 26831  df-hnorm 26998  df-hba 26999  df-hvsub 27001 This theorem is referenced by:  bcs2  27212  riesz1  28097  cnlnadjlem2  28100  cnlnadjlem7  28105  nmopcoadji  28133  leopnmid  28170
 Copyright terms: Public domain W3C validator