Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcth2 23173
 Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover 𝑋, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
bcth2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀𝑘)) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bcth2
StepHypRef Expression
1 simpll 805 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 simprl 809 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
3 cmetmet 23130 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 22186 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 bcth.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 22291 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
84, 5, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 topontop 20766 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
11 simprr 811 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → ran 𝑀 = 𝑋)
12 toponmax 20778 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
138, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋𝐽)
1411, 13eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → ran 𝑀𝐽)
15 isopn3i 20934 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ran 𝑀𝐽) → ((int‘𝐽)‘ ran 𝑀) = ran 𝑀)
1610, 14, 15syl2anc 694 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘ ran 𝑀) = ran 𝑀)
1716, 11eqtrd 2685 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘ ran 𝑀) = 𝑋)
18 simplr 807 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
1917, 18eqnetrd 2890 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘ ran 𝑀) ≠ ∅)
206bcth 23172 . 2 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ((int‘𝐽)‘ ran 𝑀) ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀𝑘)) ≠ ∅)
211, 2, 19, 20syl3anc 1366 1 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀𝑘)) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  ∅c0 3948  ∪ cuni 4468  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℕcn 11058  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  MetOpencmopn 19784  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  Clsdccld 20868  intcnt 20869  CMetcms 23098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-dc 9306  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lm 21081  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101 This theorem is referenced by:  ubthlem1  27854
 Copyright terms: Public domain W3C validator