Theorem bcth2 23936

Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover 𝑋, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
bcth2	⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bcth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		simprl 769	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
3		cmetmet 23892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4	3	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 22947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		bcth.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopntopon 23052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		topontop 21524	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
11		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 = 𝑋)
12		toponmax 21537	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
14	11, 13	eqeltrd 2916	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽)
15		isopn3i 21693	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
16	10, 14, 15	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
17	16, 11	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = 𝑋)
18		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
19	17, 18	eqnetrd 3086	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅)
20	6	bcth 23935	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1367	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∃wrex 3142  ∅c0 4294  ∪ cuni 4841  ran crn 5559  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  ℕcn 11641  ∞Metcxmet 20533  Metcmet 20534  MetOpencmopn 20538  Topctop 21504  TopOnctopon 21521  Clsdccld 21627  intcnt 21628  CMetccmet 23860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-dc 9871  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ico 12747  df-rest 16699  df-topgen 16720  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lm 21840  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-cfil 23861  df-cau 23862  df-cmet 23863

This theorem is referenced by:  ubthlem1  28650