Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcthlem2 23030
 Description: Lemma for bcth 23034. The balls in the sequence form an inclusion chain. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
bcthlem.6 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (𝜑𝐶𝑋)
bcthlem.9 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem2
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
2 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + 1) = (𝑛 + 1))
32fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝑛 + 1)))
4 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
5 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑔𝑘) = (𝑔𝑛))
64, 5oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
73, 6eleq12d 2692 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛))))
87rspccva 3294 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
91, 8sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
10 bcthlem.9 . . . . . 6 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
1110ffvelrnda 6315 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+))
12 bcth.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13 bcthlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 bcthlem.5 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
1512, 13, 14bcthlem1 23029 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)))))
1615expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))))))
1711, 16mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)))))
189, 17mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))))
19 cmetmet 22992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21 metxmet 22049 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2312mopntop 22155 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → 𝐽 ∈ Top)
26 xp1st 7143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋)
27 xp2nd 7144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
2827rpxrd 11817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*)
2926, 28jca 554 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*))
30 blssm 22133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
31303expb 1263 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
3222, 29, 31syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
33 1st2nd2 7150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) = ⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩)
3433fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩))
35 df-ov 6607 . . . . . . . . . . . 12 ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩)
3634, 35syl6reqr 2674 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))))
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))))
3812mopnuni 22156 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐽)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → 𝑋 = 𝐽)
4132, 37, 403sstr3d 3626 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ 𝐽)
42 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
4342sscls 20770 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ 𝐽) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))))
4425, 41, 43syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))))
45 difss2 3717 . . . . . . . 8 (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
46 sstr2 3590 . . . . . . . 8 (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4744, 45, 46syl2im 40 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4847a1d 25 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))))
4948ex 450 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))))
50493impd 1278 . . . 4 (𝜑 → (((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
5150adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
5218, 51mpd 15 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
5352ralrimiva 2960 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ⟨cop 4154  ∪ cuni 4402   class class class wbr 4613  {copab 4672   × cxp 5072  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606  1st c1st 7111  2nd c2nd 7112  1c1 9881   + caddc 9883  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   / cdiv 10628  ℕcn 10964  ℝ+crp 11776  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651  ballcbl 19652  MetOpencmopn 19655  Topctop 20617  Clsdccld 20730  clsccl 20732  CMetcms 22960 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-cls 20735  df-cmet 22963 This theorem is referenced by:  bcthlem3  23031  bcthlem4  23032
 Copyright terms: Public domain W3C validator