Theorem bcval5 13681

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 13668	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		mulcl 10623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		mulass 10627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
6	5	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
7		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
8		elfzuz3 12908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
9	8	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		eluznn 12321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	7, 9, 10	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
14		nnre 11647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nnrp 12403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
16		ltsubrp 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
17	14, 15, 16	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
18	12, 13, 17	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	12	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 12095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
23		zltp1le 12035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 19, 23	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
25	18, 24	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
26	22	peano2zd 12093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
27		eluz 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
28	26, 19, 27	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
29	25, 28	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
30		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
31		nnuz 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	30, 31	eleqtrdi 2925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘1))
33		fvi 6742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
34		elfzelz 12911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	33, 35	eqeltrd 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
38	4, 6, 29, 32, 37	seqsplit 13406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
39		facnn 13638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
40	12, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
41		facnn 13638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
43	42	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
44	38, 40, 43	3eqtr4d 2868	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
45	44	expr 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
46		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		faccl 13646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
48		nncn 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 10661	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
51	11, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
52	51	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
53	50, 52	eqtr3d 2860	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
55		fac0 13639	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
56	54, 55	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
57		oveq1 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
58		0p1e1 11762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
59	57, 58	syl6eq 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
60	59	seqeq1d 13378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
61	60	fveq1d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
62	56, 61	oveq12d 7176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
63	62	eqeq2d 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
64	53, 63	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
65		fznn0sub 12942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
66	65	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
67		elnn0 11902	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
68	66, 67	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	45, 64, 68	mpjaod 856	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
70	69	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
71		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
72		nn0z 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
73		zsubcl 12027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
74	72, 20, 73	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
75	74	peano2zd 12093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
76	75	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
77		fvi 6742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
78		eluzelcn 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
79	77, 78	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
80	79	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
81	3	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
82	71, 76, 80, 81	seqf 13394	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
83	11, 7, 17	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
84	74	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
85	11	nnzd 12089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
86	84, 85, 23	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
87	83, 86	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
88	76, 85, 27	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
89	87, 88	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
90	82, 89	ffvelrnd 6854	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
91		elfznn0 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
92	91	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93	92	faccld 13647	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 11656	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	66	faccld 13647	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
96	95	nncnd 11656	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
97	93	nnne0d 11690	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ≠ 0)
98	95	nnne0d 11690	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ≠ 0)
99	90, 94, 96, 97, 98	divcan5d 11444	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
100	2, 70, 99	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
101		nnnn0 11907	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
102	101	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
103		faccl 13646	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
104		nncn 11648	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
105		nnne0 11674	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ≠ 0)
106	104, 105	div0d 11417	. . . 4 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
107	102, 103, 106	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
108	3	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
109		fvi 6742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
110		elfzelz 12911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
111	110	zcnd 12091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
112	109, 111	eqeltrd 2915	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
113	112	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
114		mul02 10820	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 · 𝑘) = 0)
115	114	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
116		mul01 10821	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 0) = 0)
117	116	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
118		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
119		nn0uz 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
120	102, 119	eleqtrdi 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
121	72	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122		elfz5 12903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
123	120, 121, 122	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
124		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
125	124	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
126		nnre 11647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
127	126	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
128	125, 127	subge0d 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
129	123, 128	bitr4d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
130	118, 129	mtbid 326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
131	74	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
132	131	zred 12090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
133		0re 10645	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		ltnle 10722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
135	132, 133, 134	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
136	130, 135	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
137		0z 11995	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
138		zltp1le 12035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
139	131, 137, 138	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
140	136, 139	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
141		nn0ge0 11925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
142	141	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
143		0zd 11996	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
144	75	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
145		elfz 12901	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
146	143, 144, 121, 145	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
147	140, 142, 146	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
148		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
149		0cn 10635	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
150		fvi 6742	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
151	149, 150	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
152	108, 113, 115, 117, 147, 148, 151	seqz 13421	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
153	152	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
154		bcval3 13669	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
155	20, 154	syl3an2 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
156	155	3expa 1114	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
157	107, 153, 156	3eqtr4rd 2869	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
158	100, 157	pm2.61dan 811	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068   I cid 5461  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392  ...cfz 12895  seqcseq 13372  !cfa 13636  Ccbc 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-fac 13637  df-bc 13666

This theorem is referenced by:  bcn2  13682