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Theorem bddmulibl 24366
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑦

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 24153 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
32ffnd 6508 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 iblmbf 24295 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
54ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 24153 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
87ffnd 6508 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 24154 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
109ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 24154 . . . . . 6 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2818 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2819 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
15 eqidd 2819 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
163, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7405 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
17 ovexd 7180 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ V)
18 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹 ∈ MblFn)
1918, 5mbfmul 24254 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
2016, 19eqeltrrd 2911 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ MblFn)
21 absf 14685 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → abs:ℂ⟶ℝ)
2320, 17mbfmptcl 24164 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
2422, 23cofmpt 6886 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))))
2523fmpttd 6871 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ)
26 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
27 ssid 3986 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
28 cncfss 23434 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
2926, 27, 28mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
30 abscncf 23436 . . . . . . . . . 10 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3129, 30sselii 3961 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
33 cncombf 24186 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn)
3420, 25, 32, 33syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn)
3524, 34eqeltrrd 2911 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn)
3623abscld 14784 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ ℝ)
3736rexrd 10679 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ ℝ*)
3823absge0d 14792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
39 elxrge0 12833 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))))
4037, 38, 39sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞))
41 0e0iccpnf 12835 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]+∞)
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
4340, 42ifclda 4497 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4443adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4544fmpttd 6871 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
46 reex 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ℝ ∈ V)
48 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
50 elinel2 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐺)
51 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
527, 50, 51syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5352abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
5452absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
55 elrege0 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧))))
5653, 54, 55sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
57 0e0icopnf 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,)+∞)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5956, 58ifclda 4497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6059ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0) ∈ (0[,)+∞))
61 fconstmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ × {𝑥}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑥)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (ℝ × {𝑥}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑥))
63 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))
6447, 49, 60, 62, 63offval2 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((ℝ × {𝑥}) ∘f · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))))
65 ovif2 7241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), (𝑥 · 0))
6648recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 𝑥 ∈ ℂ)
6867mul01d 10827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑥 · 0) = 0)
6968ifeq2d 4482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), (𝑥 · 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
7065, 69syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
7170mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
7264, 71eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((ℝ × {𝑥}) ∘f · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
7372fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘((ℝ × {𝑥}) ∘f · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))) = (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))))
7459adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0) ∈ (0[,)+∞))
7574fmpttd 6871 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
77 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺)
7920, 17mbfdm2 24165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
807ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
817feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑧)))
82 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
8381, 82eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑧)) ∈ 𝐿1)
8478, 79, 80, 83iblss 24332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑧)) ∈ 𝐿1)
8552, 84iblabs 24356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
8653, 54iblpos 24320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ)))
8785, 86mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
8887simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
90 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
91 neq0 4306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
92 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ∈ ℝ)
94 elinel1 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
95 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
962, 94, 95syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
9796abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
98 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9996absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
100 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)
101 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑧)))
102101breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥))
103102rspccva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
104100, 94, 103syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
10593, 97, 98, 99, 104letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ 𝑥)
106105ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 0 ≤ 𝑥))
107106exlimdv 1925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 0 ≤ 𝑥))
10891, 107syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → 0 ≤ 𝑥))
109108imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 0 ≤ 𝑥)
110 elrege0 12830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11190, 109, 110sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
11276, 89, 111itg2mulc 24275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘((ℝ × {𝑥}) ∘f · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))) = (𝑥 · (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))))
11373, 112eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) = (𝑥 · (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))))
11490, 89remulcld 10659 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑥 · (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
116115ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ))
117 noel 4293 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑧 ∈ ∅
118 eleq2 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ 𝑧 ∈ ∅))
119117, 118mtbiri 328 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
120 iffalse 4472 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = 0)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = 0)
122121mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
123 fconstmpt 5607 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {0}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0)
124122, 123syl6eqr 2871 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) = (ℝ × {0}))
125124fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
126 itg20 24265 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
127126, 92eqeltri 2906 . . . . . . . . 9 (∫2‘(ℝ × {0})) ∈ ℝ
128125, 127syl6eqel 2918 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
129116, 128pm2.61d2 182 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
13098, 53remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ ℝ)
131130rexrd 10679 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ ℝ*)
13298, 53, 105, 54mulge0d 11205 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
133 elxrge0 12833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧)))))
134131, 132, 133sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞))
135134, 42ifclda 4497 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
136135adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136fmpttd 6871 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
13896, 52absmuld 14802 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(𝐺𝑧))))
139 abscl 14626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
140 absge0 14635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
141139, 140jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑧) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧))))
14252, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧))))
143 lemul1a 11482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(𝐺𝑧))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
14497, 98, 142, 104, 143syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(𝐺𝑧))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
145138, 144eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
146 iftrue 4469 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) = (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) = (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
148 iftrue 4469 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
149148adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
150145, 147, 1493brtr4d 5089 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
151 0le0 11726 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 0 ≤ 0)
153 iffalse 4472 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) = 0)
154152, 153, 1203brtr4d 5089 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
155154adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
156150, 155pm2.61dan 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
157156ralrimivw 3180 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
15846a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ℝ ∈ V)
159 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)))
160 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
161158, 44, 136, 159, 160ofrfval2 7416 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
162157, 161mpbird 258 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
163 itg2le 24267 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))))
16445, 137, 162, 163syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))))
165 itg2lecl 24266 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
16645, 129, 164, 165syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
16736, 38iblpos 24320 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)))
16835, 166, 167mpbir2and 709 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1)
16917, 20, 168iblabsr 24357 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
17016, 169eqeltrd 2910 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝐿1)
171170rexlimdvaa 3282 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝐿1))
1721713impia 1109 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  r cofr 7397  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662  cle 10664  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  abscabs 14581  cnccncf 23411  volcvol 23991  MblFncmbf 24142  2citg2 24144  𝐿1cibl 24145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-0p 24198
This theorem is referenced by:  bddibl  24367  itgsubstlem  24572  fourierdlem16  42285  fourierdlem21  42290  fourierdlem22  42291  fourierdlem83  42351
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