MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bernneq2 13031
Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 13030. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
bernneq2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem bernneq2
StepHypRef Expression
1 peano2rem 10386 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
213ad2ant1 1102 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
3 simp2 1082 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 df-neg 10307 . . . . 5 -1 = (0 − 1)
5 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
6 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
7 lesub1 10560 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 − 1) ≤ (𝐴 − 1)))
85, 6, 7mp3an13 1455 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 − 1) ≤ (𝐴 − 1)))
98biimpa 500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 − 1) ≤ (𝐴 − 1))
104, 9syl5eqbr 4720 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -1 ≤ (𝐴 − 1))
11103adant2 1100 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -1 ≤ (𝐴 − 1))
12 bernneq 13030 . . 3 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ (𝐴 − 1)) → (1 + ((𝐴 − 1) · 𝑁)) ≤ ((1 + (𝐴 − 1))↑𝑁))
132, 3, 11, 12syl3anc 1366 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + ((𝐴 − 1) · 𝑁)) ≤ ((1 + (𝐴 − 1))↑𝑁))
14 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
151recnd 10106 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
16 nn0cn 11340 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
17 mulcl 10058 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
1815, 16, 17syl2an 493 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
19 addcom 10260 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ) → (1 + ((𝐴 − 1) · 𝑁)) = (((𝐴 − 1) · 𝑁) + 1))
2014, 18, 19sylancr 696 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + ((𝐴 − 1) · 𝑁)) = (((𝐴 − 1) · 𝑁) + 1))
21203adant3 1101 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + ((𝐴 − 1) · 𝑁)) = (((𝐴 − 1) · 𝑁) + 1))
22 recn 10064 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
23 pncan3 10327 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 − 1)) = 𝐴)
2414, 22, 23sylancr 696 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1 + (𝐴 − 1)) = 𝐴)
2524oveq1d 6705 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 + (𝐴 − 1))↑𝑁) = (𝐴𝑁))
26253ad2ant1 1102 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((1 + (𝐴 − 1))↑𝑁) = (𝐴𝑁))
2713, 21, 263brtr3d 4716 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  0cn0 11330  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  bernneq3  13032  expnbnd  13033  expmulnbnd  13036  expcnv  14640  ostth2lem1  25352
  Copyright terms: Public domain W3C validator