MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezout Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezout 15879
Description: Bézout's identity: For any integers 𝐴 and 𝐵, there are integers 𝑥, 𝑦 such that (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 · 𝑥 + 𝐵 · 𝑦. This is Metamath 100 proof #60. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezout ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem bezout
Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑡 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
212rexbidv 3297 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
43oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)))
54eqeq2d 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦))))
6 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑣))
76oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
87eqeq2d 2829 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
95, 8cbvrex2vw 3460 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
102, 9syl6bb 288 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
1110cbvrabv 3489 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑡 ∈ ℕ ∣ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))}
12 simpll 763 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13 simplr 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
14 eqid 2818 . . . . 5 inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < ) = inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < )
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1611, 12, 13, 14, 15bezoutlem4 15878 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))})
17 eqeq1 2822 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18172rexbidv 3297 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
1918elrab 3677 . . . . 5 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2019simprbi 497 . . . 4 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
2116, 20syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
2221ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
23 0z 11980 . . . 4 0 ∈ ℤ
24 00id 10803 . . . . 5 (0 + 0) = 0
25 0cn 10621 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
2625mul01i 10818 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
2726, 26oveq12i 7157 . . . . 5 ((0 · 0) + (0 · 0)) = (0 + 0)
28 gcd0val 15834 . . . . 5 (0 gcd 0) = 0
2924, 27, 283eqtr4ri 2852 . . . 4 (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))
30 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0 · 𝑥) = (0 · 0))
3130oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)))
3231eqeq2d 2829 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦))))
33 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (0 · 𝑦) = (0 · 0))
3433oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 0)))
3534eqeq2d 2829 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))))
3632, 35rspc2ev 3632 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
3723, 23, 29, 36mp3an 1452 . . 3 𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
38 oveq12 7154 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
39 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
40 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (0 · 𝑦))
4139, 40oveqan12d 7164 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
4238, 41eqeq12d 2834 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
43422rexbidv 3297 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
4437, 43mpbiri 259 . 2 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
4522, 44pm2.61d2 182 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  {crab 3139  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cn 11626  cz 11969   gcd cgcd 15831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832
This theorem is referenced by:  dvdsgcd  15880  dvdsmulgcd  15893  lcmgcdlem  15938  divgcdcoprm0  15997  odbezout  18614  ablfacrp  19117  pgpfac1lem3  19128  znunit  20638  2sqb  25935  ostth3  26141
  Copyright terms: Public domain W3C validator