MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutlem2 15451
Description: Lemma for bezout 15454. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
Assertion
Ref Expression
bezoutlem2 (𝜑𝐺𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem2
StepHypRef Expression
1 bezout.2 . 2 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
2 bezout.1 . . . . 5 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
3 ssrab2 3820 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} ⊆ ℕ
42, 3eqsstri 3768 . . . 4 𝑀 ⊆ ℕ
5 nnuz 11908 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5sseqtri 3770 . . 3 𝑀 ⊆ (ℤ‘1)
7 bezout.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8 bezout.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
92, 7, 8bezoutlem1 15450 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
10 ne0i 4056 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅)
119, 10syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
12 eqid 2752 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}
1312, 8, 7bezoutlem1 15450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
14 rexcom 3229 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
157zcnd 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 zcn 11566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1817ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1916, 18mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
208zcnd 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22 zcn 11566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
2322ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2421, 23mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℂ)
2519, 24addcomd 10422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥)))
2625eqeq2d 2762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
27262rexbidva 3186 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
2814, 27syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
2928rabbidv 3321 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
302, 29syl5eq 2798 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
3130eleq2d 2817 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 ↔ (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
3213, 31sylibrd 249 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ 𝑀))
33 ne0i 4056 . . . . 5 ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅)
3432, 33syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
35 bezout.5 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36 neorian 3018 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
3735, 36sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
3811, 34, 37mpjaod 395 . . 3 (𝜑𝑀 ≠ ∅)
39 infssuzcl 11957 . . 3 ((𝑀 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ≠ ∅) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
406, 38, 39sylancr 698 . 2 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
411, 40syl5eqel 2835 1 (𝜑𝐺𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wrex 3043  {crab 3046  wss 3707  c0 4050  cfv 6041  (class class class)co 6805  infcinf 8504  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258  cn 11204  cz 11561  cuz 11871  abscabs 14165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167
This theorem is referenced by:  bezoutlem3  15452  bezoutlem4  15453
  Copyright terms: Public domain W3C validator