MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutr1 15901
Description: Converse of bezout 15879 for when the greater common divisor is one (sufficient condition for relative primality). (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezoutr1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem bezoutr1
StepHypRef Expression
1 bezoutr 15900 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
21adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
3 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1)
42, 3breqtrd 5083 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1)
5 gcdcl 15843 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0zd 12073 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
76ad2antrr 722 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
8 1nn 11637 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
98a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → 1 ∈ ℕ)
10 dvdsle 15648 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1))
117, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1))
124, 11mpd 15 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1)
13 simpll 763 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
14 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
1614, 15oveqan12d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (0 · 𝑌)))
17 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
1817mul02d 10826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → (0 · 𝑋) = 0)
19 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℂ)
2019mul02d 10826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ ℤ → (0 · 𝑌) = 0)
2118, 20oveqan12d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = (0 + 0))
2216, 21sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (0 + 0))
23 00id 10803 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
2422, 23syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 0)
2524adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 0)
26 0ne1 11696 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 0 ≠ 1)
2825, 27eqnetrd 3080 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ≠ 1)
2928ex 413 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ≠ 1))
3029necon2bd 3029 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3130imp 407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
32 gcdn0cl 15839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3313, 31, 32syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
34 nnle1eq1 11655 . . . 4 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
3533, 34syl 17 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
3612, 35mpbid 233 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
3736ex 413 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  cn 11626  cz 11969  cdvds 15595   gcd cgcd 15831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832
This theorem is referenced by:  divgcdcoprm0  15997  jm2.19lem1  39464
  Copyright terms: Public domain W3C validator