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Theorem bgoldbst 40949
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then the (strong) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbst (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem bgoldbst
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ Odd )
2 3odd 40904 . . . . . . 7 3 ∈ Odd
31, 2jctir 560 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
4 omoeALTV 40883 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
5 breq2 4622 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
6 eleq1 2692 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
75, 6imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
87rspcv 3296 . . . . . 6 ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
93, 4, 83syl 18 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
10 4p3e7 11108 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
1110breq1i 4625 . . . . . . . 8 ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 7 < 𝑚)
12 4re 11042 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ Odd → 4 ∈ ℝ)
14 3re 11039 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ Odd → 3 ∈ ℝ)
16 oddz 40831 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
1716zred 11426 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℝ)
1813, 15, 17ltaddsubd 10572 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
1918biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
2011, 19syl5bir 233 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
2120imp 445 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 4 < (𝑚 − 3))
22 pm2.27 42 . . . . . 6 (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
24 isgbe 40922 . . . . . 6 ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
25 3prm 15325 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℙ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 3 ∈ ℙ)
27 eleq1 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28273anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
29 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
3029eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 3 → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
3128, 30anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = 3) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
33 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑝 ∈ Odd )
34 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑞 ∈ Odd )
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 3 ∈ Odd )
3633, 34, 353jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
3816zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℂ)
3938ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑚 ∈ ℂ)
40 3cn 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 3 ∈ ℂ)
42 prmz 15308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43 prmz 15308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44 zaddcl 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
4542, 43, 44syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
4645zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
4746adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
4839, 41, 47subadd2d 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚))
4948biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚)
5049eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
51503ad2antr3 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
5237, 51jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
5326, 32, 52rspcedvd 3307 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
5453ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5554reximdva 3016 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5655reximdva 3016 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5756, 1jctild 565 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
58 isgboa 40924 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5957, 58syl6ibr 242 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6059adantld 483 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6124, 60syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
629, 23, 613syld 60 . . . 4 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6362com12 32 . . 3 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6463expd 452 . 2 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV )))
6564ralrimiv 2964 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880   + caddc 9884   < clt 10019  cmin 10211  3c3 11016  4c4 11017  7c7 11020  cz 11322  cprime 15304   Even ceven 40824   Odd codd 40825   GoldbachEven cgbe 40916   GoldbachOddALTV cgboa 40918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-prm 15305  df-even 40826  df-odd 40827  df-gbe 40919  df-gboa 40921
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