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Theorem bgoldbst 40949
 Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then the (strong) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbst (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem bgoldbst
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ Odd )
2 3odd 40904 . . . . . . 7 3 ∈ Odd
31, 2jctir 560 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
4 omoeALTV 40883 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
5 breq2 4622 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
6 eleq1 2692 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
75, 6imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
87rspcv 3296 . . . . . 6 ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
93, 4, 83syl 18 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
10 4p3e7 11108 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
1110breq1i 4625 . . . . . . . 8 ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 7 < 𝑚)
12 4re 11042 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ Odd → 4 ∈ ℝ)
14 3re 11039 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ Odd → 3 ∈ ℝ)
16 oddz 40831 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
1716zred 11426 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℝ)
1813, 15, 17ltaddsubd 10572 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
1918biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
2011, 19syl5bir 233 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
2120imp 445 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 4 < (𝑚 − 3))
22 pm2.27 42 . . . . . 6 (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
24 isgbe 40922 . . . . . 6 ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
25 3prm 15325 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℙ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 3 ∈ ℙ)
27 eleq1 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28273anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
29 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
3029eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 3 → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
3128, 30anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = 3) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
33 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑝 ∈ Odd )
34 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑞 ∈ Odd )
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 3 ∈ Odd )
3633, 34, 353jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
3816zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℂ)
3938ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑚 ∈ ℂ)
40 3cn 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 3 ∈ ℂ)
42 prmz 15308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43 prmz 15308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44 zaddcl 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
4542, 43, 44syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
4645zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
4746adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
4839, 41, 47subadd2d 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚))
4948biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚)
5049eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
51503ad2antr3 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
5237, 51jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
5326, 32, 52rspcedvd 3307 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
5453ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5554reximdva 3016 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5655reximdva 3016 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5756, 1jctild 565 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
58 isgboa 40924 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
5957, 58syl6ibr 242 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6059adantld 483 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6124, 60syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
629, 23, 613syld 60 . . . 4 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6362com12 32 . . 3 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
6463expd 452 . 2 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV )))
6564ralrimiv 2964 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  ℝcr 9880   + caddc 9884   < clt 10019   − cmin 10211  3c3 11016  4c4 11017  7c7 11020  ℤcz 11322  ℙcprime 15304   Even ceven 40824   Odd codd 40825   GoldbachEven cgbe 40916   GoldbachOddALTV cgboa 40918 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-prm 15305  df-even 40826  df-odd 40827  df-gbe 40919  df-gboa 40921 This theorem is referenced by: (None)
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