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Theorem bgoldbwt 40986
 Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbwt (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem bgoldbwt
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 40869 . . . 4 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2 5nn 11140 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
32nnzi 11353 . . . . . . 7 5 ∈ ℤ
4 zltp1le 11379 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
53, 4mpan 705 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6 5p1e6 11107 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
76breq1i 4625 . . . . . . . 8 ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8 6re 11053 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10 zre 11333 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
119, 10leloed 10132 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
127, 11syl5bb 272 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13 6nn 11141 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
1413nnzi 11353 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℤ
15 zltp1le 11379 . . . . . . . . . . . 12 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
1614, 15mpan 705 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17 6p1e7 11108 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 1) = 7
1817breq1i 4625 . . . . . . . . . . . . 13 ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19 7re 11055 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
2120, 10leloed 10132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
2218, 21syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24 3odd 40942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ Odd
2523, 24jctir 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26 omoeALTV 40921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
2927, 28imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
3029rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
3125, 26, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32 4p3e7 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 + 3) = 7
3332eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 = (4 + 3)
3433breq1i 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35 4re 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37 3re 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39 ltaddsub 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
4039biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4136, 38, 10, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4234, 41syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4342impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47 isgbe 40960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48 3prm 15341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 ∈ ℙ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50 zcn 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51 3cn 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ∈ ℂ
5250, 51jctir 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53 npcan 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
5453eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5756eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5855, 57sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5949, 58rspcedeq2vd 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6160eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6261rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6359, 62syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64633ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6564com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6665ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6766reximdva 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6867reximdva 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6968, 23jctild 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70 isgbo 40961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
7169, 70syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
7271adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
7347, 72syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
7431, 46, 733syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
7574ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
7776ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
78 7gbo 40981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7 ∈ GoldbachOdd
79 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
8078, 79mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 = 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd )
8180a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
8281a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
8477, 83jaoi 394 . . . . . . . . . . . . 13 ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
8622, 85sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
8716, 86sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
8887com12 32 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
89 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90 6even 40945 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ Even
91 evennodd 40881 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
9291pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . 13 (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
9390, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )
9489, 93syl6bir 244 . . . . . . . . . . 11 (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
9594a1d 25 . . . . . . . . . 10 (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
9695a1d 25 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
9788, 96jaoi 394 . . . . . . . 8 ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
9897com12 32 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
9912, 98sylbid 230 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
1005, 99sylbid 230 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
101100com24 95 . . . 4 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ))))
1021, 101mpcom 38 . . 3 (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
103102impcom 446 . 2 ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
104103ralrimiva 2961 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  ℂcc 9886  ℝcr 9887  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026   ≤ cle 10027   − cmin 10218  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  7c7 11027  ℤcz 11329  ℙcprime 15320   Even ceven 40862   Odd codd 40863   GoldbachEven cgbe 40954   GoldbachOdd cgbo 40955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-prm 15321  df-even 40864  df-odd 40865  df-gbe 40957  df-gbo 40958 This theorem is referenced by:  bgoldbnnsum3prm  41007
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