MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom1dif 14485
Description: A summation for the difference between ((𝐴 + 1)↑𝑁) and (𝐴𝑁). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
binom1dif ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binom1dif
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-1cn 9939 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 addcom 10167 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
41, 2, 3sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
54oveq1d 6620 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
6 binom1p 14483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
7 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 nn0uz 11666 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
97, 8syl6eleq 2714 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10 bccl2 13047 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
1211nncnd 10981 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
13 elfznn0 12371 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14 expcl 12815 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
151, 13, 14syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1612, 15mulcld 10005 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
17 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
18 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑁))
1917, 18oveq12d 6623 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)))
209, 16, 19fsumm1 14405 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁))))
21 bcnn 13036 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
2221adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑁) = 1)
2322oveq1d 6620 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)) = (1 · (𝐴𝑁)))
24 expcl 12815 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2524mulid2d 10003 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴𝑁)) = (𝐴𝑁))
2623, 25eqtrd 2660 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)) = (𝐴𝑁))
2726oveq2d 6621 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
2820, 27eqtrd 2660 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
295, 6, 283eqtrd 2664 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
3029oveq1d 6620 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)) − (𝐴𝑁)))
31 fzfid 12709 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
32 fzssp1 12323 . . . . . . 7 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
33 nn0cn 11247 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
35 npcan 10235 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3634, 2, 35sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3736oveq2d 6621 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
3832, 37syl5sseq 3637 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
3938sselda 3588 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
4039, 16syldan 487 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
4131, 40fsumcl 14392 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
4241, 24pncand 10338 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)) − (𝐴𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
4330, 42eqtrd 2660 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cuz 11631  ...cfz 12265  cexp 12797  Ccbc 13026  Σcsu 14345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator