Theorem binom2 13573

Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
binom2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7157	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵))
2	1	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2))
3		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
4		oveq1 7157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))
5	4	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)))
6	3, 5	oveq12d 7168	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))))
7	6	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
8	2, 7	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
9		oveq2 7158	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10	9	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
11		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
12	11	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
13	12	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14		oveq1 7157	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
15	13, 14	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
16	10, 15	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))))
17		0cn 10627	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	17	elimel 4533	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
19	17	elimel 4533	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
20	18, 19	binom2i 13568	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
21	8, 16, 20	dedth2h 4523	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4466  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536  2c2 11686  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  binom21  13574  binom2sub  13575  mulbinom2  13578  binom3  13579  sqrlem7  14602  abstri  14684  sqreulem  14713  amgm2  14723  bhmafibid1cn  14817  bhmafibid2cn  14818  pythagtriplem1  16147  pythagtriplem12  16157  tcphcphlem1  23832  csbren  23996  trirn  23997  tanarg  25196  heron  25410  quad2  25411  dquartlem2  25424  dquart  25425  quart1  25428  binom2d  39269  stirlinglem10  42362  itsclc0xyqsolr  44750  2itscplem2  44760